Elipse hipérbole e parábola

Me ajudem a resolver esta questão.
Considere as seguintes afirmações sobre cônicas:
I. A elipse (x-1)²/16 +(y-1)²/9= 1 tem centro no ponto (-1,-1), os comprimentos dos eixos maior e menor são respectivamente 4 e 3.
II. O foco e o vértice da parábola (x-1)²= -4(y-2) são, respectivamente, os pontos (1,1) e (1,2).
III. A hipérbole x²/16 - y²/9= 1 possui focos sobre o eixo x, o eixo imaginário é o eixo y e suas assíntotas
são as retas y=3/4 x e y=- 3/4 x.
a) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
d) Todas as afirmativas são verdadeiras.
e) Todas as afirmativas são falsas.

Hunaldo O.
Hunaldo
perguntou há 2 meses

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Professor Márcio L.
Respondeu há 2 meses
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I: Falsa, o centro está em (1,1) e o eixo maior tem comprimento 4, o menor 3, basta comparar com a equação reduzida da elipse.

II: A equação reduzida da parábola tem o formato (x-x0)²= 2p(y-y0), onde (x0,y0) são as coordenadas do vértice da parábola e p é o parâmetro que nos fornece a distância entre o foco F e a reta diretriz d da parábola.

Comparando com a equação fornecida, temos o vértice V (1,2) e o parâmetro p = 2. O sinal negativo significa a concavidade virada para baixo.
Sabemos que o foco da parábola está no mesmo eixo de simetria do vértice (mesmo x) e a distância abaixo dele (devido ao sinal negativo) é de p/2, ou seja: F = V - (0,p/2) = (1,2) - (0,1) = (1,1).
Sendo assim a alternativa está correta, veja a ilustração pelo link abaixo:
https://drive.google.com/file/d/1cU2evXB0HfFrEdzU5gp9eFYwsP4MZaDo/view?usp=sharing
Afirmação verdadeira.

III: Como o sinal negativo está à frente de y² os focos estão sobre o eixo x e o imaginário é o y. Da equação da hipérbole temos a (metade da medida do eixo real) = 4 e b (metade da medida do eixo imaginário) = 3 e quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é m = +-b/a, ou seja: m = +-3/4. Logo y=3/4x e y=- 3/4x são as assíntotas da hipérbole e a afirmação é verdadeira.

Alternativa correta letra c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
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Professor Alzir F.
Respondeu há 2 meses
I está errado pois o centro da elipse da elipse é (1,1), os eixos são 8 e 6.
II está correto.
III está correto
Letra C.

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