Em aritmética modular, calcular o resto de uma divisão quand

Para encontrar o resto da divisão de $7^{1345}$ por 4, podemos simplificar o problema usando a aritmética modular e observando padrões nos restos.

Primeiro, calculemos os primeiros potências de 7 módulo 4:

• $7^1\equiv 3\left(\mathrm{mod}4\right)$
• $7^2=49\equiv 1\left(\mathrm{mod}4\right)$

Aqui, percebemos que $7^2\equiv 1\left(\mathrm{mod}4\right)$. Isso significa que qualquer potência de 7 que tenha um expoente par será congruente a 1 módulo 4. Além disso, potências ímpares de 7 serão congruentes a 3, pois são 7 vezes uma potência par.

Como 1345 é um número ímpar, podemos expressar $7^{1345}$ como:

Sabendo que (7^{1344} = (7^2)^{672} \equiv 1^{672} \equiv 1 \pmod{4}),

Podemos então simplificar:

Portanto, o resto da divisão de $7^{1345}$ por 4 é 3.