Encontre a derivada de f(x) (2x²-3x)³ ÷(x-2)² Utilizando r

Para encontrar a derivada da função $f(x)=\frac{(2x^2-3x{)}^3}{(x-2{)}^2}$, utilizaremos a regra do quociente, além da regra da cadeia para as funções compostas. Vamos começar:

A função $f(x)$ é uma razão de duas funções: $u(x)=(2x^2-3x{)}^3$ e $v(x)=(x-2{)}^2$.

A regra do quociente nos diz que a derivada de $\frac{u(x)}{v(x)}$ é:

Primeiro, derivamos $u(x)$ utilizando a regra da cadeia: - $g(x)=2x^2-3x$ então, $u(x)=[g(x){]}^3$.

A derivada de $u(x)$ é: [ u'(x) = 3[g(x)]^2 \cdot g'(x) ]

Agora, calculemos $g^{\prime }(x)$:

Então, substituindo:

Agora, derivamos $v(x)$: - $v(x)=(x-2{)}^2$

A derivada de $v(x)$ é:

Substituímos tudo na fórmula da regra do quociente: [ f'(x) = \frac{[3(2x^2 - 3x)^2 \cdot (4x - 3)] \cdot (x-2)^2 - (2x^2 - 3x)^3 \cdot [2(x-2)]}{((x-2)^2)^2} ]

Nosso próximo passo seria simplificar essa expressão, mas já calculamos a estrutura básica para a derivada usando a regra da cadeia e a regra do quociente. Caso deseje simplificar, você precisará expandir e simplificar as expressões no numerador e denominador.