Equação cartesiana da hiperbole

Olá, Priscila!

Tudo bem?

O centro da hipérbole é o ponto médio do segmento de reta que liga os dois vértices da hipérbole. Vamos chamar esse centro de C : (c,d).

Como "a reta que contém seus focos é paralela ao eixo y", sabemos que a equação geral da hipérbole será da forma:

(y - d)²/a² - (x - c)²/b² = 1

Os significados das constantes a e b você pode ver nesse link: https://sabermatematica.com.br/hiperbole-geometria-analitica.html

Nesse caso a hipérbole PODE estar deslocada no seu exercício, tanto verticalmente quanto horizontalmente. Por isso, há um "desconto" de d para y e c para x, que coincide com as coordenadas do centro, pois o centro original seria a própria origem.

A partir de todas essas informações, vamos tentar elaborar um método para encontrar o valor das constantes acima.

1) As assíntotas de uma hipérbole cujo eixo é o próprio eixo y é dado por:

y = +- (a/b)*x

Porém, sabemos que o eixo da hipérbole pode estar deslocado, então aplicaremos o deslocamento nas assíntotas também:

(y - d) = +-(a/b)(x-c)

Assim: y = (a/b)x - (a/b)c + d (assíntota 1) e y = -(a/b)x +(a/b)c + d (assíntota 2)

Agora vamos comparar com o que o exercício nos dá:

2y = x => y = (1/2)*x (veja que o coeficiente de x é positivo, portanto devemos comparar com a assíntota 1

(1/2)x = (a/b)x -(a/b)c + d => a/b = 1/2 e -(a/b)c + d = 0 => -(1/2)c + d = 0 =>c = 2d e 2a = b (é o que podemos concluir)

Agora para a segunda assíntota.

x + 2y = 4 => y = -x/2 + 2 = -(a/b)x +(a/b)c + d => (a/b)c + d = 2 => (1/2)c + d = 2 => (usando c = 2d) 2d = 2 => d = 1 e c = 2

2) A distância entre os vertíces é 2a. Então, nesse caso, a = 1 e consequentemente b = 2a = 2

Por fim, a equação da hipérbole é:

(y-d)²/a² - (x-c)²/b² = 1 => (y-1)²/1² - (x-2)²/2² = 1 => (y-1)²/1 - (x-2)²/4 = 1.

Espero ter ajudado.