Equação de translação

Olá Thyago, para saber como fazer este exercício, é interessante você estudar separadamente

o processo de translação para eliminar os termos lineares e depois estudar a rotação, para eliminar

o termo misto do segundo grau. Uma forma de estudar isto é ver exemplos resolvidos, onde são

aplicados fórmulas para se obter cada etapa deste exercício. Além disso, para fazer o desenho,

após ter feita a translação e a rotação, é necessário entender como se desenha uma cônica (elipse,

parábola ou hipérbole, por exemplo) para então conseguir desenhar com mais precisão.

O desenho pode ser encontrado no seguinte link:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=5x%C2%B2+%2B+26xy+%2B5y%C2%B2+-62x+-46y+%2B5+%3D+0

Já a parte da rotação e translação, você pode encontrar no livro do Paulo Boulo e Ivan de Camago (Geometria

Analítica - Um Tratamento Vetorial - 2005), no capítulo 23.

Na minha opinião, a dificuldade de fazer este tipo de exercício é ter paciência de fazer todas as contas,

mas ele não é difícil, pois se trata de aplicar fórmulas e resolver dois sistemas lineares.

No youtube, por exemplo, tem as seguintes aulas:

https://www.youtube.com/watch?v=G3VM04qx3y4 (translação)

https://www.youtube.com/watch?v=kTxnH1dO2aw (rotação)

O segredo é ler e refazer as contas dos exemplos resolvidos.

Se quiser ter aulas destes temas, entre em contato que a gente marca.

Considere a figura geométrica definida por 5x² + 26xy +5y² -62x -46y +5 = 0.

1. Usando equação de translação, elimine os termos do 1º grau da equação dada.

Solução.

Considere:

x = u + 1

y = v + 2

Logo

x² = u² + 2u + 1

y² = v² + 4v + 4

xy = uv + 2u + v +2

Substituindo na equação:

5(u² + 2u + 1) + 26(uv + 2u + v +2) +5(v² + 4v + 4) - 62(u+1) - 46(v+2) +5 = 0

5u² + 10u + 5 + 26uv + 52u + 26v + 52 + 5v² + 20v + 20 - 62u - 62 - 46v - 92 + 5 = 0

5u² + 26uv + 5v² = 72

2. Aplicando uma rotação dos eixos coordenados de 45º, elimine o termo misto do 2º grau na equação obtida no item 1.

Solução.

Considere:

u = p*cos(t) - q*sin(t)

v = p*sin(t) + q*cos(t)

onde t = 45°

u = raiz(2)p/2 - raiz(2)q/2

v = raiz(2)p/2 + raiz(2)q/2

Logo

u² = p²/2 - pq + q²/2

v² = p²/2 + pq + q²/2

uv = p²/2 - q²/2

Substituindo:

5(p²/2 - pq + q²/2) + 26(p²/2 - q²/2) + 5(p²/2 + pq + q²/2) - 72 = 0

5p²/2 - 5pq +5q²/2 + 13p² - 13q² + 5p²/2 + 5pq + 5q²/2 - 72 = 0     

18p² - 8q² = 72

3. Qual figura geométrica é descrita pela equação dada inicialmente?

Solução.

Simplificando a equação:

p²/4 - q²/9 = 1

A figura geométrica descrita pela equação inicial é uma hipérbole.

4. Esboce seu gráfico, desenhando os três sistemas de eixos coordenados.

Solução.

Gráficamente

- Sistema de eixos originais:

Figura 1

- Sistema de eixos trasladados:

Figura 2

- Sistemas de eixos rotados:

Figura 3

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