Equação do plano tangente

A fórmula do plano tangente a superfície z = f(x, y) em um ponto (a, b, f(a, b)) é: z - f(a, b) = f_x(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b), onde f_x(a, b) é a derivada parcial de f com relação a x no ponto (a, b) e f_y(a, b) é a derivada parcial de f com relação a y no ponto (a, b). Essas derivadas parciais medem as taxas de variação da função f(x, y) nas direções x e y, respectivamente. Essa fórmula representa o plano que melhor se aproxima da superfície perto do ponto de tangência.

A fórmula do plano tangente à superfície z = f(x, y) no ponto (a, b, f(a, b)) é dada por:

z - f(a, b) = fx(a, b) * (x - a) + fy(a, b) * (y - b)

Onde:

- z é a coordenada z do ponto no plano
- f(a, b) é o valor da função no ponto (a, b)
- fx(a, b) é a derivada parcial da função f em relação a x, no ponto (a, b)
- fy(a, b) é a derivada parcial da função f em relação a y, no ponto (a, b)
- (x - a) e (y - b) são as diferenças entre as coordenadas x e y do ponto no plano e as coordenadas do ponto de tangência.

Ou seja, a equação do plano tangente é a primeira aproximação linear da função no ponto de tangência, e as derivadas parciais no ponto de tangência são os coeficientes das direções x e y, respectivamente.

Oi! Se minha resposta for útil me segue lá no ins ta conhecerehpoder, please ÷) Lá posso explicar melhor também.... Para mostrar a fórmula do plano tangente podemos pensar no seguinte: imagine a superfície z = f(x,y) no R³ e vamos considerar que queremos determinar o plano tangente no ponto P(x0, y0, z0), onde z0 = f(x0,y0). A intersecção dessa superfície com o plano x = x0 gera uma curva contida neste plano (plano YZ) e a reta tangente a esta curva em P possui inclinação dada pela derivada parcial da curva com relação à variável y. Isto é, z - z0 = f_y(em y = y0)(y - y0), com x = x0. De maneira análoga, a intersecção dessa superfície com o plano y = y0 gera uma curva contida neste plano (plano XZ) e a reta tangente a esta curva em P possui inclinação dada pela derivada parcial da curva com relação à variável x. Isto é, z - z0 = f_x(em x = x0)(x - x0), com y = y0. O plano tangente à superfície é determinado pelo ponto P e pelas retas tangentes {z - z0 = f_x(em x = x0)(x - x0); y = y0 {z - z0 = f_y(em y = y0))(y - y0), com x = x0 Sabendo que. equação do plano tangente é dada por A(x-x0)+B(y-y0)+C(z -z0)= 0, em que A, B e C são as coordenadas do vetor diretor normal ao plano. A, B e C podem ser determinados a partir de dois vetores linearmente independentes do plano em questão. Podemos determinar esses vetores tomando dois pontos de cada uma das retas tangentes e daí fazer o produto vetorial deles para obter o vetor normal ao plano. Um dos vetores terá as coordenadas (Dx, 0, f_x.Dx) e o outro (0, Dy, f_y.Dy), onde Dx e Dy são dois incrementos de qualquer valor sobre os valores de x0 e y0, respectivamente. Fazendo o produto vetorial (Dx, 0, f_x.Dx)X(0, Dy, f_y.Dy), determinamos o vetor (-DxDy.f_x, -DxDy.f_y, DxDy.), que é muiltiplo do vetor (f_x, f_y, -1). Assim, fazendo A = f_x, B = f_y e C = -1, temos (x-x0).f_x + (y-y0).f_y -(z-z0) = 0. Finalmente, z = f(x0,y0) + (x-x0).f_x + (y-y0).f_y Segue no conhecerehpoder que explico melhor!!!