Equacionar o plano que passa pelo ponto

O vetor normal ao plano é <1, 1, 1>, e o vetor normal ao plano é <1, -1, 1>.

Fazendo o produto vetorial entre esses 2 vetores, encontramos <2, 0, -2>. Esse será o vetor multiplicado pelo autovalor .

Vamos encontrar agora um ponto que pertença aos dois planos simultaneamente. Defino uma coordenada qualquer (z=0 vai facilitar bastante as contas) e resolvo o sistema de equações que se forma:

Obtenho então (para z = 0) a solução <2, -1, 0>.  Esse será o vetor base da reta. (como se fosse o b de y=ax + b)

A reta é definida então como sendo .

Com essa reta e o ponto A, podemos definir o plano.

Primeiro vamos encontar 2 pontos contidos na reta:

B) : <2, -1, 0>

C) : <4, -1, -2>

Temos 3 pontos agora. Com esses 3 pontos, podemos definir 2 vetores:

Temos então:

Fazendo o produto vetorial entre esses 2 vetores, obtemos um vetor perpendicular ao plano que eles formam (o plano que a gente quer definir):

Podemos substituir então as componentes desse vetor como coeficientes de x, y e z.

ax + by + cz + d = 0

8x + 0y + 8z + d = 0

Para determinar o d, basta testar um dos pontos contidos no plano (A, B ou C):

Usando A (<-2, 3, 4>) vemos que d = -16

Resposta final:

8x + 8z = 16

Para resolver essa questão devemos ter conhecimento da equação normal do plano e equação vetorial da reta.

A equação geral do plano é dada por:

em que:

x0, y0 e zo são os pontos do plano que a questão deu, então devemos substituir tudo na equação geral do plano:

OBS: Se você calcular "d" substituindo os valores corretos, encontrará:

Guarde a equação geral do plano e faça a interseção dos outros dois planos que foram dados:

Some as equações:

Substitua esse resultado em qualquer uma das equações, na primeira por exemplo:

Veja também que:

A interseção tem os pontos na forma (x,y,z):

Isso é uma reta de equação vetorial da forma:

Essa é a equação da reta que é interseção dos planos. Mas a questão diz que o plano contém essa reta, ou seja, todo ponto da reta também é do plano.

Escolha o ponto da reta (-2,-1,4) e substitua na equação geral do plano:

Agora escolha o ponto (2,-1,0):

Dessa forma:

a=c

b=0

Escolha a=c=1 e substitua na equação do plano:

A equação do plano que a questão pede é:

Qualquer dúvida, pode chamar para uma aula demonstrativa sobre o assunto.