Como fazer cálculos de equações de primeiro e segundo grau.
Amiga , bom dia, existem inúmeras situações para trabalhar equações de 1° e 2° grau , o mais comum é o uso da fórmula de Bhaskara e o isolamento de incógnitas
Olá, existe diversos casos, depende de qual forma é sua equação. Seria interessante apresentar um exemplo.
Olá Natalia,
Pergunta muito legal. Primeiro vamos entender o conceito de Equação, depois vamos ver o que é o Grau de uma equação, finalmente vamos responder sua pergunta "Como resolver essas equações".
Primeiro, definimos uma Equação como uma igualdade entre duas expressões algébricas, ou seja, qualquer expressão do tipo é uma equação, dado que, entre as expressões
e
existe uma relação de igualdade. Aqui, uma expressão (como
e
) é simplesmente uma expressão algébrica. Como exemplo, temos
e
, a nova expressão que conecta com relação de igualdade essas duas expressões algébricas, i.e.,
é um exemplo de equação. Essas expressões
e
podem ser qualquer coisa que envolva a incógnita
. De modo mais geral, não entraremos em detalhes aqui, essas expressões podem envolver qualquer número de incógnitas, não apenas
(como curiosidade, existem equações com um número até mesmo não enumerável de incógnitas). O que trabalharemos aqui é, apenas, equações com apenas uma incógnita e de caráter polinomial, ou seja, expressões relacionadas via igualdade (equações) envolvendo apenas potências, somas e multiplicação por números das incógnitas, sem outras operações aritiméticas (como raízes, logarítimos, etc.)
Agora, definimos o Grau de uma equação polinomial, como o valor do maior expoente que aparece na equação. Por exemplo, no exemplo citado no parágrafo anterior, a saber é uma equação de nono grau, já que o maior expoente que aqui aparece é
. Chamamos de Equação de Primeiro Grau uma equação onde o maior expoente que aparece é
. Todas as equações de primeiro grau podem ser escritas na forma
em que e
são números reais,
e
é uma incógnita.
Chamamos de Equação de Segundo Grau uma equação onde o maior expoente que aparece é . Todas as equações de segundo grau podem ser escritas na forma
com ,
e
números reais,
e
uma incógnita.
Quando pensamos em resolver uma equação, estamos, formalmente, pensando em encontrar os valores da incógnita que satisfazem a igualdade, i.e., os valores que colocamos para de modo a tornar a igualdade verdadeira. Um exemplo simples, que valor podemos tomar para
de tal modo que
, i.e., qual o valor que subtraido de
é zero? A resposta é
, nesse caso
é a solução da equação. Chamamos as soluções de uma equação de Raízes da equação (não confundir com raíz quadrada!).
Pois bem, vamos a pergunta central. Como resolver as equações de prmeiro e segundo grau? Todas essas equações podem ser resolvidas de modo genérico.
Comecemos com as de primeiro grau. Já vimos que essas podem ser escritas como . Ora, queremos o número
tal que, quando multiplicado por
resulta em
de tal modo que a equação seja válida. Em outras palavras, precisamos que
De fato, esse valor de satisfaz a equação. Note que
e
aqui podem ser quaisquer números reais desde que
. Para encontrar esse valor nós precisamos usar algumas propriedades de números reais. Tudo o que fazemos de um lado da equação precisamos fazer do outro para manter a igualdade (se pensarmos na igualdade como uma balança, se adcionarmos peso de um lado, temos que adcionar do outro também para manter o equilíbrio). Pois bem, veja a seguinte conta
Veja que, primeiro, subtraímos dos dois lados, depois dividimos por
dos dois lados, obtendo assim uma nova igualdade onde, do lado esquerdo, aparece apenas o
, ou seja, do lado direito é o valor que
deve assumir para que a igualdade esteja satisfeita. Toda equação do primeiro grau pode ser resolvida dessa maneira!
Vamos agora para o caso das equações do segundo grau, este é mais delicado, mas a ideia é a mesma, queremos deixar sozinho do lado esquero da equação a incógnita , para sabermos seu valor que mantém válida a igualdade. ATENÇÃO: a coisa aqui pode ficar um pouquinho complicada, mas sugiro que estude bem o que vem a seguir, caso não entenda de primeira, não se desmotive, utilize apenas o resultado final, após uma certa familiaridade com a teoria volte e tente novamente.
Toda equação do segundo grau pode ser escrita como,
como , dividimos ambos os lados da equação por
para isolar o
. Do lado esquerdo da equação vamos tentar escrever como um quadrado perfeito de uma soma (essa técnica chama-se Método de Completar Quadrados). Vejamos que somando dos dois lados a expressão o termo
, temos
Agora, podemos subtrair dos dois lados o termo e tirar a raíz dos dois lados da equação, veja
Aqui, deixo como exercício para você fazer essas contas, é apenas uma álgebra simples, tome o seguinte cuidado também: a raíz de um número ao quadrado não é o próprio número, na verdade é o módulo dele, i.e., , por exemplo
, por isso aparece o módulo do lado esquerdo.
Agora, tirando o módulo, temos que o lado direito pode assumir valor positivo, ou negativo, em outras palavras,
.
Em geral, os livros apresentam uma notação para a expressão dentro da raíz da expressão anterior e a equação
é a chamada Fórmula Quadrática. E ela nos fornece os valores para os quais a equação de segundo grau é satisfeita, em outras palavras, ela nos fornece as raízes da equação do segundo grau. Note que são duas! O número é chamado Discriminante da equação, e ele é estudado muito a fundo em teorias mais avançadas de Álgebra Abstrata, é de extrema importância já que ele nos fornece existência de raízes: se
for negativo, a equação não possui soluções reais, se for estritamente positivo, a equação possui duas soluções distintas e se for igual à zero, a equação possui apenas uma solução real.
De modo mais geral, temos o seguinte teorema, chamado Teorema Fundamental da Álgebra
Teorema. Uma equação de -ésimo grau de coeficientes reais tem no máximo
raízes reais. Se a equação for de coeficientes complexos, então ela possui exatamente
raízes complexas.
Curiosidade. A Fórmula Quadrática é amplamente conhecida como Fórmula de Bháskara no Brasil. Entretanto, em qualquer outro lugar do mundo (até memos na Índia, onde ela foi descoberta, ninguém a conhece assim, isso é devido ao fato de que, o livro do qual ela foi retirada e traduzida para o português, foi um livro escrito por Bháskara, porém a fórmula já era conhecida muito antes dele. Assim, apesar da homenagem, é errado chamá-la de Fórmula de Bháskara.
É claro que essa é uma resposta que se aprofunda bem ao assunto, sugiro você explorar alguns exemplos, qualquer livro de matemática básica deve conter inúmeros desses exemplos. Dado o teor da sua pergunta, acredito que essa seja uma resposta bem razoável.
Espero ter ajduado!
Qualquer dúvida, pode entrar em contato!
email: p.bortolucci@unesp.br
?https://www.overleaf.com/read/gsgyskrvwnfd#5a5da2
Neste link eu explico de maneira básica e simples como se resolve algumas equacoes de 1 e 2 grau
Existem inúmeras situações. Seria interessante que enviasse situações que gostaria de trabalhar.
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