Equações Diferenciais

A população de uma comunidade aumenta a uma razão proporcional à população presente. a. Equação diferencial &P/&t= KP Solução &P/P= K&t => Por separação de variáveis, lnP= Kt + C P(t)= Exp(Kt + C) b. COndiçâo de contorno P(6)= 2P(0) . Por questão de simplificação, assumamos P(0) = 1 : então C=0 P(6) = Exp(6K) = 2 => Exp(6k)=2 => 6.k=ln2 k= (ln2)/6 k= 0,115525 c. Pergunta: Quanto tempo levará para alcançar o triplo? P(t)= Exp(0,115525*t) = 3 Aplicando Ln nos dois lados ===> t = (ln3)/0,115525 t = 9,51 anos

Se a taxa com que a população aumenta é proporcional a população presente, a gente pode escrever: dp/dt=k.p(t) Onde 'p' é a população...dp/dt é a taxa como ela varia com o tempo..e k é a taxa de proporcionalidade. Repare que isso é uma EDO separável, então podemos colocar tudo que depende de 'p' de um lado e de 't' do outro: dp/p=k.dt Então é só integrar de ambos os lados: integral(dp/p)=integral(k.dt) integral(dp/p)=ln(p) integral(k.dt)=k.integral(dt)=kt Não esquece da constante de integração! Substituindo, fica assim: ln(p)=kt+C Logo p=e^(kt+C)=(e^C).e^(kt) como e^C é uma constante, vou chamar ela de B..não tem porque usar exponencial de uma constante que a gente ainda vai determinar. p=Be^(kt) Então qual é a população inicial? t=0: p0=B.e^(k.0)=B Ok..então ficou: p=p0e^(kt) Percebe que a gente ainda não tem o k...mas ele disse que a população dobrou(p=2.p0) em 6 anos(t=6) 2p0=p0.e^(k.6) 2=e^(k.6) k.6=ln2 k=(ln2)/6 Então finalmente, substituindo: p=p0.e^(ln(2)*t/6) Quanto tempo demora pra triplicar população? p=3p0 3p0=p0*e^(ln(2)*t/6) 3=e^(ln(2)*t/6) ln(3)=ln(2)*t/6 t=6*ln(3)/ln(2)=6*1,0986/0,693=9,51 anos Se te ajudou e puder dar aquela curtida, muito obrigado =). Bons ventos meu amigo!