Equações Diferenciais

Question

Inicialmente, um tanque contém 300 litros de água com 20 gramas de sal dissolvido. Suponha que salmora com 1 grama de sal por litro seja misturada ao conteúdo do tanque a uma razão de 4 L/min e que o conteúdo do tanque, já completamente misturado, seja drenado a mesma razão ( 4 L/min). Encontre a quantidade de gramas de sal N(t) no tanque após 10 minutos.

Profes A. · Accepted Answer

Para resolver essa questão, podemos usar a abordagem das equações diferenciais. Vamos modelar a quantidade de sal no tanque usando uma equação diferencial.

Dados do problema:

Volumes: O tanque contém inicialmente 300 litros de água.
Sal inicial: 20 gramas de sal.
Concentração da salmora: 1 grama de sal por litro.
Taxa de entrada de salmora: 4 L/min.
Taxa de saída do conteúdo: 4 L/min.

Modelo

Ao longo do tempo, o saldo do tanque permanecerá em 300 litros, pois a taxa de entrada é igual à taxa de saída. Vamos denotar a quantidade de sal no tanque no tempo $t$ como $N (t)$ .

A taxa de entrada de sal devido à salmora é:

Taxa de entrada de sal = concentração da salmora \times taxa de entrada = 1 g/L \times 4 L/min = 4 g/min

A quantidade de sal no tanque é diluída na água, e a concentração de sal no tanque a qualquer momento é:

Concentração de sal no tanque = \frac{N (t)}{300}

Assim, a taxa de saída de sal (já que estamos drenando 4 L/min) é dada por:

Taxa de saída de sal = concentração no tanque \times taxa de saída = \frac{N (t)}{300} \times 4

Portanto, a taxa de saída de sal é:

Taxa de saída de sal = \frac{4 N (t)}{300} = \frac{N (t)}{75}

Equação Diferencial

Agora, podemos montar a equação diferencial para a quantidade de sal:

\frac{d N}{d t} = Taxa de entrada - Taxa de saída = 4 - \frac{N (t)}{75}

Rearranjando, temos:

\frac{d N}{d t} + \frac{N (t)}{75} = 4

Solução da Equação Diferencial

Essa é uma equação diferencial linear de primeiro grau e pode ser resolvida usando o fator integrante. O fator integrante $μ (t)$ é dado por:

μ (t) = e^{\int \frac{1}{75} d t} = e^{\frac{t}{75}}

Multiplicando toda a equação pela fator integrante:

e^{\frac{t}{75}} \frac{d N}{d t} + \frac{N (t)}{75} e^{\frac{t}{75}} = 4 e^{\frac{t}{75}}

A parte esquerda é a derivada do produto:

\frac{d}{d t} (N (t) e^{\frac{t}{75}}) = 4 e^{\frac{t}{75}}

Integrando ambos os lados:

N (t) e^{\frac{t}{75}} = 4 \int e^{\frac{t}{75}} d t = 4 \times 75 e^{\frac{t}{75}} + C

N (t) e^{\frac{t}{75}} = 300 e^{\frac{t}{75}} + C

N (t) = 300 + C e^{- \frac{t}{75}}

Condição Inicial

A condição inicial é $N (0) = 20$ :

N (0) = 300 + C = 20

Portanto, $C = 20 - 300 = - 280$ .

Solução Final

Assim, a solução para $N (t)$ é:

N (t) = 300 - 280 e^{- \frac{t}{75}}

Quantidade de Sal Após 10 Minutos

Agora queremos encontrar $N (10)$ :

N (10) = 300 - 280 e^{- \frac{10}{75}}

Calculando $e^{- \frac{10}{75}}$ :

e^{- \frac{10}{75}} \approx e^{- 0.1333} \approx 0.875

Substituindo de volta:

N (10) \approx 300 - 280 \times 0.875

N (10) \approx 300 - 245 = 55

Portanto, a quantidade de gramas de sal no tanque após 10 minutos é aproximadamente $55$ gramas.

Pietro P. · Answer

Fala meu amigo, vamos chamar de N(t) a quantidade de sal no tanque..então sabemos que N(0)=20 gramas de sal, foi o que ele disse no começo da questão. O que queremos saber é o N(10), certão? Para isso, temos que começar entendendo como a quantidade de sal N(t) está variando com o tempo dentro do tanque, ou seja, a taxa de variação de N(t) em relação ao tempo, opa, isso é dN(t)/dt. Mas calma ae, isso não é a taxa de variação? No caso do tanque, temos que analisar a quantidade de sal que entra e subtrair da quantidade de sal que sai:

dN(t)/dt=Taxa que entra - Taxa que sai(

Mas quem é a taxa que entra? Ele disse na questão!

Taxa que entra=(4 L/min) * (1 grama/L) = 4 gramas/min

E a taxa que entra é diferente? Naada! Só se liga que ele falou que o sal já sai completamente misturado...então a quantidade que sai é N(t) gramas/L? Não não! N(t) é tudo que tem no tanque! Você tem q dividir isso uniformemente pros 300 litros fixos(Repara que a quantidade de água que sai, é igual a que entra!) que tem no tanque! Então é N(t) gramas/(300 L)..ae sim, agora é uma taxa de saída, do outro jeito saía o sal todo em 1 litro, faz sentido? Náá...

Taxa que sai= (4 L/min) * (N(t) gramas/(300L))=4*N(t)/300 gramas/min = N(t)/75 gramas/min

Então substituindo:

dN(t)/dt=4-N(t)/75

dN(t)/dt+N(t)/75=4

Isso é uma EDO linear de primeira ordem, tem alguns caminhos pra resolver ela, isso seria uma ótima dar uma estudada se você não souber meu amigão! Bem, eu vou usar o fator integrante dessa vez:
você calcula um fator integrante u:

u=e^(integral(dt/75))=e^(t/75)

Se você não souber isso, da uma lidinha parceiro, seria muito ruim deduzir todo por essa formatação de texto super limitada. Você pega esse "u" e multiplica pela edo:

e^(t/75).dN(t)/dt+e^(t/75).N(t)/75=e^(t/75).4

Se você lembrar da regra da derivada do produto, vai ver que:

e^(t/75).dN(t)/dt+e^(t/75).N(t)/75=d(N(t).e^(t/75))/dt

Substituindo:

d(N(t).e^(t/75))/dt=4.e^(t/75)

Opa! Aquela EDO separável! Joga "t" pra um lado e deixa "N" no outro:
d(N(t).e^(t/75))=4.e^(t/75).dt

Integrando de ambos os lados:

integral(d(N(t).e^(t/75)))=N(t).e^(t/75)

integral(4.e^(t/75).dt)=4.75.e^(t/75)=300.e^(t/75)

Não esquece da constante de integração hen!

Então fica:

N(t).e^(t/75)=300.e^(t/75)+C

Mas não esquece quem em N(0)=20 gramas, ele disse na questão, então ó:

N(0).e^(0/75)=300.e^(0/75)+C -> N(0)-300=C -> C=20-300=-280

Assim ficou:

N(t).e^(t/75)=300.e^(t/75)-280

Dividindo tudo por e^(t/75):

N(t)=300-280.e^(-t/75)

Então N(10) é:

N(10)=300-280.e^(-10/75)=300-245,05=54,95 gramas de sal!

Bons ventos!