Equações Diferenciais

Fala Pablo...tudo tranquilo?
Então, você colocou o valor de v0 como 0 m/s..certamente não é isso hahaha...e você também não deu a unidade da massa..não sei se é 1kg ou 1 tonelada e eu também não entendi o valor do k hahahaha..então eu vou fazer essa questão de forma teórica, pode ser?
Pensa no seguinte, quando o torpedo é lançado, não existe nenhuma força além da resistência da água, então pela segunda lei de Newton:
Soma das forças externas no corpo = m.a (Massa vezes a aceleração)
A única força externa é a resistência da água
Força de resistência= m.a
Ele disse que essa força é proporcional ao quadrado da velocidade vezes uma constante k
Força de resistência=-k.v²
Se liga no sinal de " - " porque é uma força de resistência, então, substituindo:
-kv²=m.a
Mas calma ae, quem é a aceleração? É da derivada da velocidade com relação ao tempo:
a=dv/dt
Substituindo:
-kv²=m. dv/dt
Perceba que isso é uma EDO(Equação diferencial ordinária) separável, da pra colocar tudo de um lado em função só de "v" e o outro lado em função só de "t". Olha só:
-k.dt/m=(dv/v²)
Viu? Passei o "dt" multiplicando pra um lado e o "dv" e i"m" dividindo pro outro. Sempre que você consegue deixar a EDO assim, você diz que ela é separável, agora pra resolver é só integrar dos dois lados
Integral(-k.dt/m)=Integral( (dv/v))

Integral(-k.dt/m)=-kt/m
Integral((dv/v))=-1/v

Não esquece que constantes saem da integral, é o caso do "m" e do "k"...você lembra da integral q dá logaritmo? Ela cai bastante em EDOs separáveis, é importante lembrar. Bem.. agora é só substituir na igualdade, e não esqueça da constante!

-kt/m= -1/v +B

1/v=kt/m+B

Pronto..mas temos como achar essa constante B! Ele disse no tempo t=0 você tem a velocidade v0, substituindo:
1/v0= k.0/m+B -> B=1/v0

Logo, substituindo:

1/v=kt/m+1/v0

Ele não disse que quer saber a distância percorrida tal que a velocidade seja final seja a metade da inicial? Então:

V=v0/2

Substituindo:

1/(v0/2)=k*(tf)/m+1/v0

Mas:

1/(v0/2)=2/v0

Assim:

2/v0=k*(tf)/m+1/v0

1/v0=k*(tf)/m

tf=m/(v0*k)

Sacou? Eu chamei de "tf" o tempo final..Isso é o tempo que ele levou pra atingir essa velocidade..pra que calculamos isso? Você verá!

Que beleza! Mas ele está pedindo distância, né? Mas sabemos que a velocidade é a derivada distância com relação ao tempo: v=ds/dt, voltando a nossa resposta:

1/v=kt/m+1/v0=(k.v0.t+m)/(m.v0)

Vamos arrumar ela, invertendo os 2 lados:

v=(m.v0)/(k.v0.t+m)

ds/dt=(m.v0)/(k.v0.t+m)

ds=(m.v0)/(k.v0.t+m)dt

integral(ds)=S-S0=S -S0=S, agente fala que a posição inicial S0 é 0

integral[(m.v0)/(k.v0.t+m)dt]=???
Faça uma substituição simples : u=k.v0.t+m -> du=k.v0.dt -> du/(k.v0)=dt

Substituindo:

integral[(m.v0)/(k.v0.t+m)dt]=integral[(m/(k.u) du]=m/k. ln(u)=m/k.ln(k.v0.t+m), aplica esse resultado de t0=0 a t=tf...assim encontraremos o deslocamento!

fica assim

[m/k.ln(k.v0.t+m)] de 0 a tf=m/k.ln(k.v0.tf+m)+m/k.ln(m)

Substitui tf=m/(v0*k)

Assim:

m/k.ln(k.v0.tf+m)+m/k.ln(m)=m/k.ln(2m)+m/k.ln(m)=m/k[ln(2m)+ln(m)]=m/k[ln(2m²)

Uffa...Assim, igualando um lado ao outro

S=m/k[ln(2m²)


É muito difícil responder questões assim sem poder usar uma equação bonitinha..fica feio..mas fiz o melhor que puder..se ajudou, da aquela curtinha pra ajudar o professor.

Bons Ventos!