Equeção diferencial

Por favor como resolver a equação diferencial y'' + 3y' + 2y = x^2 pelo método: 1) dos coeficientes a determinar; 2) da variação dos parâmetros.

Adriano C.
Adriano
perguntou há 1 semana

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Professor Rodrigo P.
Respondeu há 1 semana

1) Coef. indeterminados: 

Primeiro passo: resolver a equação homogênea asssociada a y'' + 3y' + 2y, (m^2+3m+2=0);

 com as raizes obteremos a solução particular na forma Yc=C1exp(m1*x)+C2exp(m2*x) ;

resolvendo obtemos m1=-1 e m2=-2;

Logo Yc= C1exp(-x)+C2exp(-2x).

Segundo passo: encontrar a forma da solução particular (Yp) através da forma da função g(x)=x^2;

por tabela obtemos que: Yp=Ax^2+Bx+c, Y'p=2Ax+B; Y''p=2A

 substituindo na ED e igualando a x^2 podemos encontrar as constantes A,B,C por identidade de polinômios;

2A+6Ax+3B+2Ax^2+2Bx+2C=x^2 ---> x^2(2A)+x(6A+2B)+(2A+3B+2C)=x^2;

portanto A=1/2;B=-3/2;7/4 e com isso Yp=(x^2)/2-(3x)/2+7/4

Terceiro passo: Se Ygeral=Yc+Yp basta susbtituir oq foi encontrado e finalizar a questão.

 

2)Var. de parâmetros:

Pela solução complementar, Yc=C1Y1+C2Y2=C1exp(-x)+C2exp(-2x), precisamos encontrar a solução particular da forma Yp=U1*exp(-x)+U2exp(-2x), onde U1 e U2 são funções de x que para encontrá las utilizaremos os seguntes passos:

a) Calcular W(exp(-x),exp(-2x)), ou seja o wroskiano das funções; W=|exp(-x)     exp(-2x)   |   (calcular determinante dessa matriz);

                                                                                                      |-exp(-x)   -2exp(-2x)|

b)Calcular W1 e W2 da seguinte forma: W1=|0            exp(-2x)|    e    W2=|exp(-x)        0   |

                                                                  |x^2   -2exp(-2x)  |                  |-exp(-x)      x^2|

 

c)feito isso podemos obter U'1 e U'2 da seguinte forma: U'1=W1/W e U'2=W2/W, integre e encontre U1 e U2;

 

d)depois de fazer todos esse procedimentos vc chegará na solução para Yp= (x^2)/2-(3x)/2+7/4=U1exp(-x)+U2exp(-2x);

 

e) Ygeral=Yc+Yp !

 

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