Erro de raciocínio acerca do princípio multiplicativo

Bem, eu tenho uma dúvida sobre o princípio multiplicativo da análise combinatória. 

Suponhamos que temos uma forma biconvexa, onde há 10 retas vertical que intersectam essa forma. Agora nomeamos uma ponta A e a outra B. De quantas formas podemos chegar de A a B, sem retornar o caminho?

Esse problema eu vi de um professor de matemática. Daí tentei fazer, mas pensava que meu raciocínio estaria correto, entretanto não estava. O raciocínio correto seria, temos duas possibilidades de escolher o primeiro caminho, e a cada caminho encontraremos 1 nó que darão duas possibilidades, uma para continuar no caminho e outra para descer a reta. Logo, 2^11 seria a resosta.

Mas daí, eu entendi o raciocínio, mas queria saber o que há de errado com o meu.

Eu pensei que havia duas possibilidades para escolher o primeiro caminho, logo depois de escolhido, a pessoa poderia descer a reta vertical e ao chegar em cada nó, subir a reta e ir direto para o ponto B, dessa forma, para esse caso, haver-se-ia 10 possibilidades. Só que são 10 barras, e para cada barra diminuiria 1 possibilidade, logo teríamos 10 fatorial, só que isso duplicado, porque teria o inverso, com a outra possibilidade de escolha do primeiro nó. 

Mas também teríamos a forma em zig-zaga, que ficaríamos descendo e subindo até chegar a B. Dessa forma, teríamos também 10 fatorial, só que em dobro.

E teríamos duas formas diretas, uma indo por cima de A a B e outra por baixo.

Enfim , por que isso tá errado? eu queria entender, porque toda vez que tento resolver análise combinatória é esse tipo de raciocínio que vem pra mim e não o do professor, daí quando vejo a resposta faz muito sentido, mas nunca vem de primeira.