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Ezequiel há 1 ano
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Erro de raciocínio acerca do princípio multiplicativo

Bem, eu tenho uma dúvida sobre o princípio multiplicativo da análise combinatória. 

 

Suponhamos que temos uma forma biconvexa, onde há 10 retas vertical que intersectam essa forma. Agora nomeamos uma ponta A e a outra B. De quantas formas podemos chegar de A a B, sem retornar o caminho?

Esse problema eu vi de um professor de matemática. Daí tentei fazer, mas pensava que meu raciocínio estaria correto, entretanto não estava. O raciocínio correto seria, temos duas possibilidades de escolher o primeiro caminho, e a cada caminho encontraremos 1 nó que darão duas possibilidades, uma para continuar no caminho e outra para descer a reta. Logo, 2^11 seria a resosta.

 

Mas daí, eu entendi o raciocínio, mas queria saber o que há de errado com o meu.

Eu pensei que havia duas possibilidades para escolher o primeiro caminho, logo depois de escolhido, a pessoa poderia descer a reta vertical e ao chegar em cada nó, subir a reta e ir direto para o ponto B, dessa forma, para esse caso, haver-se-ia 10 possibilidades. Só que são 10 barras, e para cada barra diminuiria 1 possibilidade, logo teríamos 10 fatorial, só que isso duplicado, porque teria o inverso, com a outra possibilidade de escolha do primeiro nó. 

Mas também teríamos a forma em zig-zaga, que ficaríamos descendo e subindo até chegar a B. Dessa forma, teríamos também 10 fatorial, só que em dobro.

E teríamos duas formas diretas, uma indo por cima de A a B e outra por baixo.

 

Enfim , por que isso tá errado? eu queria entender, porque toda vez que tento resolver análise combinatória é esse tipo de raciocínio que vem pra mim e não o do professor, daí quando vejo a resposta faz muito sentido, mas nunca vem de primeira.

Professora Natalia C.
Respondeu há 1 ano
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Acredito que seja colocar na aba tarefas ou solicitar uma aula.

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Professora Rebeca L.
Respondeu há 1 ano
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Bom dia, Ezequiel! Eu consegui entender a figura que você descreveu, bem como o raciocínio utilizado na resposta do professor, que é a correta. Contudo, não ficou tão claro para mim o modo como você pensou, o que dificulta que eu te dê uma resposta precisa. Eu vou responder com base no que entendi: a primeira observação que eu tenho é a de que, nesse tipo de problema, o ieal é que você não tente imaginar cada possibilidade separadamente --- como que tentando pensar em cada camimnho inteiro possível ---, como você fez, dividindo o problema em algumas hipóteses. Digo isso por duas razões: primeiro, porque você corre o risco de esquecer alguma possibilidade; depois, porque você corre o risco de contar alguma possibilidade de modo duplicado. O ideal é a gente trabalhar com a ideia dos nós mesmo. A segunda observação que eu tenho é em relação ao 10! que você disse ter usado. Confesso que, aqui, por texto, não consegui compreender bem o que você quis dizer, mas vou tentar ajudar mesmo assim. Você começou do jeito certo, considerando que há duas possibilidades iniciais. Vamos supor que você tenha escolhido o caminho de cima. O problema foi considerar que existiriam dez opções nesse momento, quando, na verdade, são apenas duas: ou você segue caminhando para a direita, em direção ao próximo nó, ou você desce a reta para o nó que está embaixo. A minha terceira observação é em relação a duplicar as respostas. Você não deve fazer isso, porque, no nosso cálculo, já estão embutidas as duas possibilidades (de fazer o caminho por cima ou por baixo) e, além disso, já está no nosso cálculo também a possibilidade de fazer o caminho em zigue-zague. Sempre que você descer ou subir a reta para ir a um nó que está na mesma reta, o próximo nó só vai ter uma opção de camimnho (seriam duas, mas você não pode voltar), então a gente multiplicaria por 1. Como isso não muda o resultado da multiplicação, a gente simplesmente tira da conta. Por isso o cálculo para o zigue-zague não é diferente. Espero que tenha ficado claro. Se não, você pode entrar em contato pela plataforma Profes ou pelo e-mail profrebecalelis@hotmail.com.

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