Eu preciso muito de ajuda com essa questão

Professor César D.

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Respondeu há 3 anos

Vamos começar calculando os pontos da reta R com t=0 e t=1. Vamos chamar estes pontos de A e B, respectivamente.

Para t = 0, temos que A = (-2, 0, 1).

Para t = 1, temos que B = (-4, 4, -4).

A distância do ponto P=(-2, 4, -4) à reta R, é a norma do vetor PX, onde X é o ponto de R mais próximo de P. Este ponto tem a propriedade de fazer o segmento PX perpendicular à reta R. Vamos usar isso ao nosso favor. O vetor AB tem a direção da reta R, então falta apenas construir o vetor PX.

Então, considere X um ponto na reta R, que deve ser dado por X = (-2t-2, 4t, 1-5t). Então vamos determinar as coordenadas do vetor PX e do vetor AB:

PX = X-P = (-2t-2, 4t, 1-5t) - (-2, 4, -4) = (-2t, 4t-4, 5-5t)

AB = B-A = (-4, 4, -4) - (-2, 0, 1) = (-2, 4, -5)

Agora que temos os dois vetores e sabemos que eles são perpendiculares, podemos usar o produto interno, pois o produto interno entre dois vetores perpendiculares é igual a 0.

PX.AB = (-2t, 4t-4, 5-5t).(-2, 4, -5) = (4t) + (16t - 16) + (-25 + 25t) = 45t - 41 =0.

Então, resolvendo a equação de primeiro grau, obtemos que t=41/45. Isso quer dizer que o ponto X neste valor de t. Podemos substituir t no vetor PX e calcular a sua norma, para determinar a distância de P à reta X.

PX = (-2t, 4t-4, 5-5t)

= (-2(41/45), 4(41/45) - 4, 5 - 5(41/45))

= (-82/45, 164/45 - 4, 5 - 205/45)

= (-82/45, 164/45 - 180/45, 225/45 - 205/45)

= (-82/45, -16/45, 20/45)

Agora, calculamos sua norma:

|| PX || = raiz de [(-82/45)² + (-16/45)² + (20/45)²]

~= raiz de [3,64444]

~=1.91