Os termos (a,b,c) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética crescente, cuja soma é igual a 21. Então os termos (a + c/ 2b, c - a, b + c) formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razao igual a:
Eu tenho a resposta do exercício, mas me perco nos cálculos. Gostaria de uma explicação do porque cada calculo entra na resolução do exercicio (o porque cada fórmula etc foi usada). Obrigada!!
A sequência (a,b,c) é uma P.A. crescente, cuja soma dos termos é 21,com isso temos:
Se (a,b,c) é P.A., a diferença entre dois termos consecutivos é igual à razão, então:
b-a = razão
c-b = razão
Então:
b-a=c-b
b+b=c+a
2b=a+c (i)
E sabemos que a soma dos termos dessa P.A. é 21,logo:
a+b+c=21
(a+c)+b=21 (ii)
(Substituindo (i) em (ii))
2b+b=21
3b=21
b=21/3
b=7
Com isso, como de (i) 2b=a+c, temos que a sequência ((a+c)/2b,c-a,b+c) pode ser reescrita como:
(2b/2b,c-a,b+c)=(1,c-a,7+c) (b diferente de zero)
A questão informa que a sequência (1,c-a,7+c) é uma P.G. e quer saber qual é a razão (que chamaremos de q) dessa progressão. O quociente entre dois termos consecutivos é igual à razão, com isso temos:
q=(c-a)/1 = c-a
q=(7+c)/(c-a)
Então:
c-a = (7+c)/(c-a)
(c-a)² = 7+c (iii)
Sabemos de (i) que “c=14-a”,vamos reescrever (iii)
(14-a-a)²=7+14-a
(14-2a)²=21-a
196-56a+4a²=21-a
4a²-56a+a+196-21=0
4a²-55a+175=0
Resolvendo essa equação encontraremos as raízes:
a1=35/4
a2=5
De (i) temos que:
c1=14-a1=14-35/4=5,25
c2=14-5=9
e
a1=35/4 => c1=5,25
(Primeira possibilidade)
a2=5 => c2=9
(Segunda possibilidade)
O exercício informa que a P.A. é crescente,então “c>a”,a única dentre as possibilidades acima,que satisfaz a condição de ser crescente é a segunda possibilidade (pois “c2=9” é maior que “a2=5”),com isso temos que:
c=9 e a=5
Como vimos que q=c-a, então q=9-5=4.
A razão q da P.G. é q=4.
