Exercícios puc- rio (matemática)

A sequência (a,b,c) é uma P.A. crescente, cuja soma dos termos é 21,com isso temos:

Se (a,b,c) é P.A., a diferença entre dois termos consecutivos é igual à razão, então:

b-a = razão

c-b = razão

Então:

b-a=c-b
b+b=c+a
2b=a+c (i)

E sabemos que a soma dos termos dessa P.A. é 21,logo:

a+b+c=21
(a+c)+b=21 (ii)
(Substituindo (i) em (ii))
2b+b=21
3b=21
b=21/3
b=7

Com isso, como de (i) 2b=a+c, temos que a sequência ((a+c)/2b,c-a,b+c) pode ser reescrita como:

(2b/2b,c-a,b+c)=(1,c-a,7+c) (b diferente de zero)

A questão informa que a sequência (1,c-a,7+c) é uma P.G. e quer saber qual é a razão (que chamaremos de q) dessa progressão. O quociente entre dois termos consecutivos é igual à razão, com isso temos:

q=(c-a)/1 = c-a

q=(7+c)/(c-a)

Então: 

c-a = (7+c)/(c-a)

(c-a)² = 7+c (iii)

Sabemos de (i) que “c=14-a”,vamos reescrever (iii)
(14-a-a)²=7+14-a
(14-2a)²=21-a
196-56a+4a²=21-a
4a²-56a+a+196-21=0
4a²-55a+175=0

Resolvendo essa equação encontraremos as raízes:

a1=35/4

a2=5

De (i) temos que:

c1=14-a1=14-35/4=5,25
c2=14-5=9

e

a1=35/4 => c1=5,25
(Primeira possibilidade)

a2=5 => c2=9
(Segunda possibilidade)

O exercício informa que a P.A. é crescente,então “c>a”,a única dentre as possibilidades acima,que satisfaz a condição de ser crescente é a segunda possibilidade (pois “c2=9” é maior que “a2=5”),com isso temos que:

c=9 e a=5

Como vimos que q=c-a, então q=9-5=4.

A razão q da P.G. é q=4.