Expoentes

É verdade que quando a gente cita,por exemplo, "2³" ,temos a multiplicação de 4 potências?(2 elevado a zero x2¹x2¹x2¹)?A gente tem que incluir o 2 elevado a zero na multiplicação também?É por isso que,para achar o número de divisores, a gente soma o expoente mais 1 e esse 1 ,no caso, representa o zero,então?

Marcelo C.
Marcelo
perguntou há 8 meses

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2 respostas
Professor André S.
Respondeu há 8 meses
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Boa tarde Marcelo.

Na verdade são duas coisas distintas.

Quando efetuamos a potência 2³, por exemplo.

Podemos entender que 2³ = 2¹ · 2¹ ­· 2¹, como sugerido e por propriedades de potências. No entanto, sem a necessidade de se colocar 2^0 = 1. Fazer isso é desnecessário e não está relacionado com o fato de se adicionar 1 ao expoente do fator primos de um número decomposto para encontrar o número de divisores.

A explicação de se somar 1 ao expoente para se determinar o número de divisores deve-se que para determinar os divisores de um número decomposto em fatores primos, temos a possibilidade de que a potência do fator primo seja igual a ZERO, aumentando, portanto, em 1 a quantidade de combinações possíveis que pode ser efetuada para se formar divisores.

Por exemplo, os divisores de 30:

30 = 2 · 3 · 5

As combinações para determinar os divisores de 30 são:

2^0 · 3^0 · 5^0
2^0 · 3^0 · 5¹
2^0 · 3¹ · 5^0
2^0 · 3¹ · 5¹
2¹ · 3^0 · 5^0
2¹ · 3^0 · 5¹
2¹ · 3¹ · 5^0
2¹ · 3¹ · 5¹

Ou seja, a determinação da quantidade de divisores trata-se de um problema de contagem e que usa o Teorema Fundamental desse conceito e encontrar o valor de uma potência é uma operação desconexa disso.

Espero ter ajudado.

Atenciosamente,
Professor Matheus B.
Respondeu há 8 meses

Oi, Marcelo! Tua intuição tá quase perfeita! Esse 2^representa o 1 como divisor! De maneira geral, para encontrarmos o número de divisores de um número qualquer, fatoramos ele em primos, adicionamos 1 a cada potência que aparece na fatoração e, finalmente, multiplicamos. Assim, por exemplo, para saber o número de divisores de 324, fazemos assim:


324 = 2² x 3^4

Daí, somando um a cada potência e multiplicando, temos: (2+1)x(4+1)=15,
ou seja, 324 tem 12 divisores!

Abraços!

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