Exponencial

Boa noite Richard. Beleza? Reescrevendo as fórmulas, pra ter certeza que entendi o enunciado: y = log[ x + sqrt(x² + 1) ] ................ (eq. 1) 2^(-y) = k*x ...................................... (eq. 2) Aparece um 2^y a mais que não sei se foi erro teu, mas resolvendo da forma que entendi acima, fica: Primeiramente, vamos isolar o y da eq. 2, que é mais simples. Lembre que o inverso da função potência é a função log: (-y) = log( k*x ) ................. esse log é na base dois, pois o (-y) isolado era expoente de "2" y = - log( k*x ) Usando a propriedade logarítmica que a*log ( x ) = log ( x^a ), temos que: y = log[ (k*x)^-1 ] = log[ 1/(k*x) ] Agora igualando nosso resultado com a eq. 1, temos que: log[ 1/(k*x) ] = log[ x + sqrt( x² + 1 ) ] 1/(k*x) = 2^log[ x + sqrt( x² + 1) ] Como o log é base 2, quando elevamos o "2" a este log, eles "se cortam" e ficamos com: 1/(k*x) = x + sqrt( x² + 1 ) 1/(k*x) - x = sqrt( x² + 1 ) Realizando a soma das frações através da determinação do mínimo múltiplo comum: ( 1 - k*x² )/( k*x ) = sqrt( x² + 1 ) Agora elevando ao quadrado os dois lados da igualdade: [ ( 1 - k*x² )/( k*x ) ]² = [ sqrt( x² + 1 ) ]² ( 1 - 2*k*x² + k²*x^4 )/( k²*x² ) = ( x² + 1 ) Agora, multiplicando os dois lados por "( k²*x² )": 1 - 2*k*x² + k²*x^4 = k²*x^4 + k²*x² Passando tudo para o lado esquerdo da equação e multiplicando por "-1" : k²*x² + 2*k*x² - 1 = 0 Apesar de termos "x" na equação, queremos determinar o valor de "k", então ela é nossa variável a ser determinada. Aplicando a fórmula de báskara: k = [ -2*x² +- sqrt( 4*x^4 + 4*x² ) ]/[ 2*x² ] Daí, as duas raízes: k' = -1 + [ sqrt( 1 + x² ) ]/x k'' = -1 - [ sqrt( 1 + x² ) ]/x Porém, note que na eq. 2, temos que k*x = 2^(-y), ou seja, o produto "k*x" nunca poderá ser negativo, então multiplicando por "x" os dois lados das equações das raízes: x*k' = -x -sqrt( 1 + x² ) ==> como o valor de sqrt( 1 + x² ) sempre será positivo e maior do que x, esta raíz é invalida e temos que a resposta é: k = -1 + [ sqrt( 1 + x² ) ]/x

log_2 (argumento) = x significa que x^2 = argumento. (Leia log_2 como logaritmo na base 2). Portanto, 2^y = x sqrt(x^2 1). Caso 2^y= kx temos que kx= x sqrt(x^2 1). Portanto, k= 1 sqrt(1/x 1). No caso 2^(-y)= kx o que muda é que podemos multiplicar o log por -1 para manter a igualdade com kx. O número multiplicando log pode ser passado a expoente do argumento. Isso significa que kx = 1/(x sqrt(x^2 1)). Espero ter entendido a pergunta corretamente. :)