Extremos máximo e minimos de uma função com duas variavéis

Question

A temperatura num ponto (x,y) de uma placa metálica é dada por: T(x,y)=x^2-4*x*y+y^2. Uma formiga caminha sobre a placa descrevendo uma circunferência de raio 5 centrada na origem. Quais são as temperaturas máxima e mínima encontradas pela formiga? Alguém me sabe ajudar? Tenho tentado resolver mas não tenho conseguido

Rodrigo C. · Accepted Answer

Vou deixar meu whatsapp, caso voce precise tirar mais alguma duvida. +16028753903

T(x,y)=x^2-4*x*y+y^2

T(5,0) = 25

T(0,5) = 25

T(-5,0) =25

T(0,-5) =25

Se voce considerar o meio do caminho, voce tem as coordenadas:

Raiz(5) / 2 e Raiz (5) / 2 , e variacoes de sinais. Se voce aplicar na formula de temperatura, nao sera maximo.

Enzo A. · Answer

Uma pequena observação é que a circunferência de raio 5 é um conjunto fechado e limitado. Além disso, a sua função $T(x) = x^2 - 4xy + y^2$ é contínua. Portanto, o problema tem solução (até agora só provamos existência da solução).

Utilizando multiplicadores de Lagrange, podemos encontrar a solução do problema. Definimos $L(x,y,\lambda) = T(x,y) - \lambda (x^2 + y^2 - 25)$ . Logo, sabemos que as soluções do problema são ótimos locais da função $L(x,y,\lambda)$ . Dado isso, basta calcular las derivadas e resolver o sistema $\nabla L = 0$ .

Resolvendo dito sistema, obtemos que os possíveis candidatos a máximo são

$\left(\dfrac{\pm 5\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\pm 5\sqrt 2}{2}\right)$

Nota que aqui temos 4 candidatos (tomando as 4 possíveis escolhas de sinal). Avaliando a função, obtemos que o máximo se atinge nos pontos

$\left(\dfrac{5\sqrt{2}}{2}, \dfrac{-5\sqrt 2}{2}\right)$
$\left(\dfrac{- 5\sqrt{2}}{2}, \dfrac{5\sqrt 2}{2}\right)$

Em ambos casos, a função $T(x,y)$ atinge o valor 75.

Caso quiser fazer mais consultas o ter uma aula, pode ficar a vontade para me contatar.

Extremos máximo e minimos de uma função com duas variavéis

Um professor já respondeu

Um professor já respondeu

Envie suas dúvidas pelo App. Baixe agora

Prefere professores para aulas particulares ou resolução de atividades?