Função e perímetro

Considerando os lados do retângulo como m e n
2m + 2n = 100
m + n = 50
m = 50 - n

A = m*n
A = (50 - n) * n
A = - n² + 50n

A função que representa a área deste retângulo é A(n) = -n² + 50n, o gráfico é uma parábola onde o eixo x representa um dos lados do retângulo ( 0 < n < 50) e o eixo y a área do mesmo. Para determinar as medidas do retângulo de área máxima, basta calcular o ponto máximo da parábola:

n_máx = -b/2a
n_máx = -50/2*-1
n_máx = 25
portanto m_máx = 25

Olá Leoni,

Se o retângulo tem lados X e Y, seu perímetro será 2X+2Y, como o valor do perímetro é 100 temos:

2X + 2Y = 100

X + Y = 50

Y = 50-X

E sua área será X.Y

A = XY

A = X . (50 - X)

A = -X² + 50X

A área é uma equação do segundo grau que pode ser presentada por A(x)=-X² + 50X, e será máxima quando o lado X do retângulo tiver a medida que determina o ponto máximo dessa função:

Xmax = -b/2a

nessa função b = 50, a = -1, logo

Xmax = -50 / [2.(-1)]

Xmax = 25

Isso significa que o lado X do retângulo medirá 25 quando a sua área for máxima, e curiosamente, como o perímetro é 100, teremos neste momento um quadrado onde todos os lados medirão 25.

Para desenhar o gráfico da função percebe que é uma parábola e sua concavidade está voltada para baixo (a<0).

Basta que identifique no plano cartesiano 3 pontos que podem ser as raizes (R e S) e o ponto máximo (M), e uní-los por um traçado em forma de parábola.

A(x) = -X² +50X

Raizes -> -X² +50X = 0

X' = 0   Ponto R(0,0)

X" = 50  Ponto S(50,0)

Ponto máximo

A(25) = -25² + 50 . 25

A(25) = -625 + 1250

A(25) = 625 Ponto M(25,625)

Espero ter ajudado.

Fique com Deus!