Função exponencia e equação polinomial

Você tem familiaridade com cálculo??? Vou utilizar limites e derivadas para a resposta. O gráfico nos dá as seguintes informações:

(i) Conforme x -> ∞, f(x) -> 1
(ii) f(0) = 3
(iii) f(x) > 0, para todo x real
(iv) f é estritamente decrescente

De (ii), temos que:
f(0) = a.b^0 = 3
a.1 + c = 3
a + c = 3

Como f é estritamente decrescente, então uma transformação monotônica crescente sobre f será decrescente. Como f é sempre positiva, podemos aplicar a função ln nesta, ou seja, podemos definir:
g(x) = ln[f(x)] - c
g(x) = ln(a.b^x)
g(x) = ln(a) + ln(b^x)
g(x) = ln(a) + x.ln(b)

É importante notar 2 coisas:
- Por f ser positiva, temos que g está bem definida, ou seja, ln(a) e ln(b) existem e são reais, logo a > 0 e b > 0.
- g tem a forma A.x + B, em que A = ln(a) e B = ln(b), ou seja, g é uma reta. Para g ser decrescente, devemos ter B < 0 => ln(b) < 0 => b < 1.

Com estes 2 pontos, temos que a > 0 e 0 < b < 1.

Como sabemos que 0 < b < 1, então a.b^x -> 0 quando x -> ∞. Logo f(x) -> c = 1, pela condição (iv). Como a + c = 3 => a = 2.

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Resposta alternativa (sem cálculo)

Primeiro note que se a = 0, b = 0 ou b = 1, f seria constante. Logo, podemos eliminar estes casos.

Suponha que b < 0. Então temos que

- b^i < 0, para i = 1,3,5,7,... .
- b^j > 0, para j = 2,4,6,8,... .

Se a > 0, então a.b^2 > 0 e, portanto, f(2) = a.b^2 - c > f(0) => f não é decrescente
Se a < 0, então a.b^1 > 0 e, portanto, f(1) = a.b^1 - c > f(0) => f não é decrescente

Logo temos que b não pode ser menor do que 0, então b > 0.

Se b > 1, então b^x não converge, logo não existiria a assíntota. Então temos que 0 < b < 1. Logo a.b^x converge para 0, então f(x) converge para c. Pelo gráfico, f converge para 1, ou seja, c = 1.

Se a < 0, a função seria crescente (pois 0 < b < 1), logo a > 0.

Então temos que:
a > 0
0 < b < 1
c = 1