Funções diferenciável em (0,0)

para que a função seja derivável ela tem que ser contínua logo todas as funções acima são contínuas, então serão deriváveis no ponto (0,0)

Olá Paulo. Já faz um tempo que você colocou sua dúvida aqui, vi somente agora, por isso a resposta demorou um pouco. Vamos lá. Primeiramente vamos lembrar a definição de função de duas variáveis diferenciável. Definição: Uma função f de duas variáveis é diferenciável no ponto (a,b) se exitem f_x(a,b) e f_y(a,b) e lim_{(h,k) --> (0,0)} [f(a+h,b+k)-f(a,b)-hf_x(a,b)-kf_y(a,b)]/sqrt(h^2+k^2)=0. Além de podermos usar essa definição para mostrar se uma função f é diferenciável em (a,b), temos uns teoremas importantes que também podem ser usados para isso e, em geral, é mais fácil verificar a diferenciabilidade de uma função usando-os. Seguem dois deles: Teorema 1: Se uma função é diferenciável num ponto, então ela é contínua nesse ponto. Usando a contrapositiva do Teorema 1, temos a seguinte afirmação equivalente: Se uma função é descontínua num ponto, então ela não é diferenciável nesse ponto. A recíproca do Teorema 1 não é verdadeira, ou seja, existem funções que são contínuas em um dado ponto, mas não são diferenciáveis nesse ponto. Teorema 2: Se todas as derivadas parciais de primeira ordem de f existem e são contínuas num ponto, então f é diferenciável nesse ponto. Vamos à resolução dos problemas: i) f(x,y)= ?(x^2+y²) Para verificar se f é diferenciável em (0,0), vamos usar a definição. Assim, devemos primeiramente ver se existem f_x(0,0) e f_y(0,0). Vejamos: f_x(0,0) = lim_{h -->0} [f(0+h,0)-f(0,0)]/h = lim_{h -->0} IhI/h = "não existe". Logo, como f_x(0,0) não existe, a função f não é diferenciável em (0,0). Observe que esta função é contínua em (0,0), porém não é diferenciável em (0,0) ii) g(x,y)= 1-x^2-y^2 Para verificar se g é diferenciável em (0,0), vamos usar o Teorema 2, isto é, vamos ver se f possui as derivadas parciais de primeira ordem contínuas em (0,0). Temos, g_x(x,y) = -2x e g_y(x,y) = -2y Como essas derivadas são polinômios, segue que são contínuas em todo R^2, logo são contínuas em (0,0) e assim g é diferenciável em (0,0). iii) h(x,y)=?(1-x^2-y²) Para verificar se h é diferenciável no (0,0), procederemos de maneira análoga ao item anterior. Vejamos, h_x(x,y) = -x/sqrt(1-x^2-y^2) e h_y(x,y) = -x/sqrt(1-x^2-y^2). As derivadas h_x e h_y são contínuas em (0,0), logo, pelo Teorema 2, a função h é diferenciável.