1o) Cite as principais características da função cosseno: 2o) Cite as principais características da função tangente: domínio D = Imagem Im = Quadrante 1o 2o 3o 4o Sinal Variação período P = paridade função domínio D = Imagem Im = Quadrante 1o 2o 3o 4o Sinal Variação período P = paridade função 3o) Construir o gráfico da função f( x ) = cos 2 x. 4o) ) Determine o período e imagem das seguintes funções: a). f( x ) = – 1 + 2 cos 5x. b) f( x ) = 4 – cos ( 4 x 3 + 45°) c) f( x ) = 1 – 3 cos( 6x – π 3 ) 6o) Determinar K para que existam as igualdades: b) cos x = 2k + 1 d) cos x = 3 k−1 2 7o) Determinar o domínio das funções: a) y = tg ( x – 30°) b) y = tg ( x – π 2 ) 8o) Determinar o período das funções: a) y = tg ( x – 30°) b) y = tg (3 x – π 2 ) c) y = tg ( 4 x 3 + π 3 ). 9o) Parte do gráfico da funçãoƒ(x) = a + b cos (cx – π 4 ) está representado na Figura abaixo, determine: a) imagem Im(ƒ). b) o período p. c) os valores de a, b e c. d) escreva a lei da função. 10o) Com o objetivo de aumentar a produção de alimentos em certa região, uma secretaria de agricultura encomendou a uma equipe de agrônomos um estudo sobre as potencialidades do solo dessa região. Na análise da temperatura do solo, a equipe efetuou medições diárias, durante quatro dias consecutivos, em intervalos de uma hora. As medições tiveram início às 6 horas da manhã do primeiro dia (t = 0). Os estudos indicaram que a temperatura T, medida em graus Celsius, e o tempo t, representando o número de horas decorridas após o início das observações, relacionavam-se através da expressão T ( t ) = 26 + 5 cos ( π 12 t + 4π 3 ) Com base nessas informações, identifique as afirmativas corretas: ( ) A temperatura do solo, às 6 horas da manhã do primeiro dia, foi de 23,5 oC. ( ) A função T(t) é periódica e tem período igual a 24 h. ( ) A função T(t) atinge valor máximo igual a 30 oC.
1ª QUESTÂO)
•Geometricamente, o Cosseno é encontrado no diâmetro horizontal de uma circunferência e sua medida unitária é o raio, logo -1raio< Cos <+1 raio;
•SINAL: ângulo com lado terminal no 1ºquadrante ? + (sinal positivo)
ângulo com lado terminal no 2ºquadrante ? - (sinal negativo)
ângulo com lado terminal no 3ºquadrante ? - (sinal negativo)
ângulo com lado terminal no 4ºquadrante ? + (sinal positivo)
•São destacáveis a forma geral a + b.Cos(cx+d)... e a forma básica Cos x (onde a=0; b=1; c=1; d=0; período básico p=2?)
•Considerando a forma genérica, temos: Domínio(Conjunto de modificadores de resultados) D = R;
Imagem(Conjunto de resultados produzidos) Im = [a-b,a+b]; P=2?/c
•PARIDADE (Função PAR- partilha imagem por opostos)
30° é oposto a -30°
Cos 30° = 1/2 (a imagem é 1/2) e Cos (-30°) = 1/2 (a imagem é 1/2)
2ª QUESTÂO
•Geometricamente, a Tangente é encontrada numa reta perpendicular ao diâmetro horizontal de uma circunferência, tocando-o em um único ponto, uma das extremidades (diâmetro ? circunferência) e sua medida unitária é o raio, logo tg = (-?,+?);
•SINAL: ângulo com lado terminal no 1ºquadrante ? + (sinal positivo)
ângulo com lado terminal no 2ºquadrante ? - (sinal negativo)
ângulo com lado terminal no 3ºquadrante ? - (sinal positivo)
ângulo com lado terminal no 4ºquadrante ? + (sinal negativo)
•São destacáveis a forma geral a + b.tg(cx+d)... e a forma básica tg x (onde a=0; b=1; c=1; d=0; período básico p=?)
•Considerando a forma genérica, temos:
Domínio(Conjunto de modificadores de resultados) D= R - {x?R| x?90°+k.360°} ou D= R - {x?R| x? ?/2+k. 2?} ;
Imagem(Conjunto de resultados produzidos) Im = [a-b,a+b]; P=2?/c
•PARIDADE (Função ÍMPAR-inversão máxima de partilha de imagem por opostos)
60° é oposto a -60°(dominantes opostos, imagens opostas)
tg 60° = ?3 (a imagem é ?3) e tg (-60°) = -?3 (a imagem é -?3)
a imagem ?3 é oposta à imagem -?3
3ª QUESTÂO
Gráfico de f(x)= Cos 2x = 0+ 1. Cos (2x+0), observe que c=2 modificará o período P= 2?/c = 2?/2= ?
DICA:
| X | 2X | Cos 2x |
| 0 | 2.0= 0 | 1 |
| ?/12 | 2?/12= ?/6 | ?3/2 |
| ?/8 | 2?/8= ?/4 | ?2/2 |
| ?/6 | 2?/6= ?/3 | 1/2 |
| ?/4 | 2 . ?/4= ?/2 | 0 |
| ?/3 | 2 . ?/3= 2?/3 | -1/2 |
| 3?/8 | 2 . 3?/8= 3?/4 | -?2/2 |
| 5?/12 | 2 . 5?/12= 5?/6 | -?3/2 |
| ?/2 | 2 . ?/2= ? | -1 |
| 3?/4 | 2 . 3?/4= 3?/2 | 0 |
| ? | 2 . ?= 2? | 1 |
Agora é só substituir no plano e traçar o gráfico através dos pares ordenados representados pelos pontos
4ª QUESTÂO
PERÍODO E IMAGEM
a) f(x)=-1+2Cos 5x = -1 + 2. Cos (5x+0)
Im(f)= [a-b,a+b] ? ? -1-(+2)= -1-2=-3 ? -1+(+2)= -1+2=+1 ? ? Im(f)= [-3,+1]
Período P = 2?/c = 2?/5
b) f(x)= 4 - Cos (4x/3+45°) = 4 - Cos (4x/3+45°)
Im(f)= [a-b,a+b] ? ? 4 - (-4/3)= 4 + 4/3= 16/3 ? 4+(-4/3)= 4 - 4/3= 8/3 ? ? Im(f)= [8/3,16/3]
Período P = 2?/c = 2?/(4/3) = 2? . (3/4) = 6? /4 = 3? /2
c) f(x)= 1-3Cos (6x-?/3) = 1 - 3. Cos (6x-?/3)
Im(f)= [a-b,a+b] ? ? 1-(-3)= 1+3=4 ? 1+(-3)= 1-3=-2 ? ? Im(f)= [-2,+4]
Período P = 2?/c = 2?/6 = ?/3
5ª QUESTÂO
NÃO FOI ESCRITA
6ª QUESTÂO
DETERMINAR K:
b) Cos x = 2k+1
-1< Cos x < +1 ? -1< 2k+1 < +1 ? -1 -1 < 2k < +1 -1 ? -2 < 2k < 0 ? -2 /2< k < 0/2 ? -1< k < 0
d) Cos x=3k -12
-1< Cos x < +1 ? -1< 3k -12 < +1 ? -1 +12 < 2k < +1 +12 ? 11 < 2k < +13 ? 11/3< k < 13/3
7ª QUESTÂO
DETERMINAR O DOMÍNIO:
a) y = tg(x-30°) OBS: Não está na forma básica
Na sua composição básica, o domínio da tg x é (EM GRAUS) D=R - {x?R| x?90°+k.360°} ou (EM RADIANOS) D= R - {x?R| x? ?/2+k. 2?}
Logo, (EM GRAUS) D= R - {x?R| x-30°?90°+k.360°} = R - {x?R| x? 90°+30°+k.360°} = R - {x?R| x? 120°+k.360°}
ou (EM RADIANOS) D= R - {x?R| x-(?/6)? ?/2+k. 2?} = R - {x?R| x? ?/2+(?/6)+k. 2?} = R - {x?R| x? 4?/6+k. 2?}
= R - {x?R| x? 2?/3+k. 2?}
b) y= tg(x- ?/2) OBS: Não está na forma básica
Na sua composição básica, o domínio da tg x é (EM GRAUS) D=R - {x?R| x?90°+k.360°} ou (EM RADIANOS) D= R - {x?R| x? ?/2+k. 2?}
Logo, (EM GRAUS) D= R - {x?R| x-90°?90°+k.360°} = R - {x?R| x? 90°+90°+k.360°} = R - {x?R| x? 180°+k.360°}
ou (EM RADIANOS) D= R - {x?R| x-(?/2)? ?/2+k. 2?} = R - {x?R| x? ?/2+(?/2)+k. 2?} = R - {x?R| x? 2?/2+k. 2?}
= R - {x?R| x? ?+k. 2?}
8ª QUESTÂO
DETERMINAR O PERÍODO:
?forma básica: tg x
?forma geral completa: a + b. tg(cx+d)
a) y = tg(x-30°) OBS: Não está na forma básica
Período P = ?/c = ?/1 = ?
b) y= tg(x- ?/2) OBS: Não está na forma básica
Período P = ?/c = ?/1= ?
) y= tg(4x/3- ?/3) OBS: Não está na forma básica
Período P = ?/c = ?/(4/3) = ? . (3/4) = 3? /4
9ª QUESTÂO
GRÁFICO MENCIONADO NÃO ESTÁ DISPONÍVEL
10ª QUESTÂO
???FUNÇÃO ESCRITA DE MANEIRA CONFUSA
a) ( ) Às 6 h da manhã, T= 23,5°C
b) ( ) T(t) é periódica com período de 24 h
c) ( ) O valor máximo de T(t) é 30°C
