Geometria ana

Veja o gráfico:

https://www.wolframcloud.com/obj/bf423568-38d1-4ba9-af53-6b971b15ef3b

Para resolver esse problema usando o Mathematica, podemos usar o comando Solve para encontrar o ponto de interseção das retas e, em seguida, o comando EuclideanDistance para calcular a distância entre os pontos e, por fim, escrever a equação da circunferência. Veja como:

Primeiro, vamos encontrar o ponto de intersecção das duas linhas:

```mathematica
intersection = Solve[{y == 2*x - 1, x - 3*y + 2 == 0}, {x, y}]
```

Isso vai retornar o ponto de intersecção `(x, y) = (1, 1)`.

Em seguida, calculamos a distância entre o ponto de intersecção e o ponto P(1, 2):

```mathematica
radius = EuclideanDistance[{x, y} /. intersection[[1]], {1, 2}]
```

Isso vai retornar `r = 1`.

Agora, escrevemos a equação da circunferência usando a fórmula geral `(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2`:

```mathematica
circleEquation = (x - 1)^2 + (y - 1)^2 == radius^2
```

Isso retornará a equação `(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1`.

Note que, no Mathematica, a função Solve retorna uma lista de regras de substituição, então usamos `intersection[[1]]` para extrair a primeira (e única) solução. Além disso, usamos `{x, y} /. intersection[[1]]` para substituir `x` e `y` pelos valores encontrados na solução.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Agora pelo método tradicional:

Primeiramente, temos que determinar o centro da circunferência. O centro da circunferência é o ponto de intersecção das retas dadas pelas equações

y = 2x-1 e

x-3y+2 = 0.

Para encontrar a intersecção, podemos substituir y na segunda equação pela expressão da primeira equação. Fazendo isso, temos:

x - 3*(2x - 1) + 2 = 0
x - 6x + 3 + 2 = 0
-5x + 5 = 0
x = 1

Substituindo x = 1 na primeira equação, temos y = 2*1 - 1 = 1.

Portanto, o centro da circunferência é o ponto C(1,1).

A equação de uma circunferência com centro no ponto (h, k) e raio r é dada por:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

O raio pode ser determinado pela distância entre o centro da circunferência e o ponto P(1, 2), que é dado pela expressão:

r = sqrt((x1 - h)^2 + (y1 - k)^2)

Substituindo x1 = 1, y1 = 2, h = 1 e k = 1, temos:

r = sqrt((1 - 1)^2 + (2 - 1)^2)
r = sqrt(0 + 1)
r = 1

Agora, podemos escrever a equação da circunferência:

(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1^2

Então a equação da circunferência é:

(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1

Para determinar a equação da circunferência, precisamos encontrar o centro (h, k) e o raio (r).

Primeiro, vamos encontrar o centro (h, k) da circunferência, que é o ponto de intersecção das duas retas.

A primeira reta tem a equação y = 2x - 1. A segunda reta tem a equação x - 3y + 2 = 0.

Podemos resolver esse sistema de equações encontrando os valores de x e y que satisfazem ambas as equações.

Substituindo a primeira equação na segunda, temos:

x - 3(2x - 1) + 2 = 0

x - 6x + 3 + 2 = 0

-5x + 5 = 0

-5x = -5

x = 1

Substituindo o valor de x na primeira equação, encontramos: y = 2(1) - 1 y = 1

Portanto, o ponto de intersecção das duas retas é (1, 1), que será o centro (h, k) da circunferência.

Agora, vamos determinar o raio (r) da circunferência. O raio é a distância entre o centro e o ponto dado P(1, 2).

Usando a fórmula da distância entre dois pontos, temos:

r = ?((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

r = ?((1 - 1)^2 + (2 - 1)^2)

r = ?(0 + 1)

r = ?1

r = 1

Agora que temos o centro (h, k) = (1, 1) e o raio (r) = 1, podemos escrever a equação da circunferência:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1

Portanto, a equação da circunferência é (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1.

Veja meu amigo, para determinar a equação da circunferencia, utilizamos a equação reduzida:

onde o ponto é o ponto que representa o centro do circulo e r que é o raio do circulo.

a questão ja os deu (x, y) --> (1, 2).

tudo que precisamos fazer agora é achar o ponto do centro, que a questão diz que é a intersecção das retas dadas, e substitui-las na equação reduzida para assim achar o raio. Após achar o raio montamos a equação e reduzida e resolvemos os quadrados, segue a resolução abaixo:

primeiro precisamos montar um sistema linear com as duas equações da reta e resolve-lo para achar a intersecção:

podemos ver que y já está isolado na equção de cima, então substituimos na equação de baixo para descobrir o x:

agoro que que descobrimos x, substituimos na equação de cima:

então nos temos nosso ponto central que é (1, 1). Agora substituimos na equação reduzida da circunferencia o ponto que foi dado na questão e o ponto que achamos para descobrir o raio:

logo a equação reduzida da circunferencia:

para ver a imagem do gráfico clique aqui

Para determinar a equação da circunferência que passa pelo ponto P(1, 2) e cujo centro é o ponto de intersecção das retas y = 2x - 1 e x - 3y + 2 = 0, precisamos seguir alguns passos, conforme podem ser vistos na sequência:

Primeiro, encontre o ponto de intersecção das retas.
Vamos igualar as equações das retas e resolver o sistema de equações para encontrar o ponto de intersecção:

y = 2x - 1
x - 3y + 2 = 0

Substituindo o valor de y da primeira equação na segunda equação, temos:

x - 3(2x - 1) + 2 = 0
x - 6x + 3 + 2 = 0
-5x + 5 = 0
-5x = -5
x = 1

Substituindo o valor de x na primeira equação, temos:

y = 2(1) - 1
y = 1

Portanto, o ponto de intersecção das retas é Q(1, 1).

Em seguida, determine o raio da circunferência.
O raio da circunferência é a distância entre o ponto P(1, 2) e o centro da circunferência Q(1, 1). Podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos:

d = sqrt((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Substituindo os valores, temos:

d = sqrt((1 - 1)² + (1 - 2)²)
d = sqrt(0 + 1)
d = 1

Portanto, o raio da circunferência é 1.

Passo 3: Escrever a equação da circunferência
A equação geral da circunferência é dada por:

(x - h)² + (y - k)² = r²

Onde (h, k) é o centro da circunferência e r é o raio.

Substituindo os valores conhecidos, temos:

(x - 1)² + (y - 1)² = 1²
(x - 1)² + (y - 1)² = 1

Portanto, a equação da circunferência é (x - 1)² + (y - 1)² = 1.