Geometria analitica 3 exercicios do pedro ii

Olá Maggie,

Questão 1. Primeiro devemos nos lembrar do que é mediana: a mediana é o segmento que parte de um vértice e passa pelo ponto médio dos outros dois vértices do triângulo. Assim, note que no seu enunciado o ponto deve ser o ponto médio do segmento oposto ao vértice , ou seja, é o ponto médio do segmento . Pois bem, temos então as seguintes coordenadas de :

Agora, o ponto é o ponto médio do segmento , logo, suas coordenadas são dadas por:

Veja que estou usando fortemente a fórmula para calcular o ponto médio de um segmento dadas as coordenadas de seus dois pontos extremos, assim, se não a lembrar sugiro voltar na teoria e dar uma olhada novamente, aqui está uma sugestão de leitura. Abaixo, deixo uma imagem do problema.

Questão 2.  Primeiro, lembremos a definição de baricentro: o baricêntro de um triângulo é o ponto de intersecção das três medianas do triângulo. Assim, da fórmula do ponto médio, sabemos que 

mas como foi dado, , basta comparar coordenada a coordenada e conseguimos determinar as coordenadas do ponto :

Agora que temos as coordenadas do ponto podemos nos lembrar que as coordenadas do baricêntro são dadas em termos das coordenadas dos vértices do triângulo da seguinte maneira:

,

Assim, fazendo algo muito parecido com o que fizemos na primeira etapa dessa questão, temos:

Portanto, e .

Questão 3. Essa é um pouquinho mais trabalhosa, vou colocar a figura que você deve seguir pra acompanhar, depois explico todos os passos e farei algumas contas, as demais deixo para você pensar pois é apenas repetição do que vou fazer. 

Considere a figura:

O que faremos é uma construção para encontrar os vértice, vou explicar a teoria, depois fazemos as contas:

• Primeiro, imagine uma reta  passando por se traçarmos uma circunferência com centro em e raio essa circunferência toca a reta  em dois pontos: e ;
• Se traçarmos uma circunferência centrada em com o mesmo raio , essa circunferência cruza em dois pontos: e ;
• A partir das coordenadas encontradas de e das que foram dadas de podemos traçar uma reta que contém . Traçando uma circunferência de raio com centro em essa circunferência cruza a reta em dois pontos: e , nos fornecendo as coordenadas de ;
• Traçando uma circunferência com mesmo raio mas centrada em essa circunferência cruza em dois pontos: e nos fornecendo as coordenadas de ;
• Agora temos as coordenadas de todos os vértices: , e , o ponto é um terço do segmento , podemos com as coordenadas encontradas, calcular , bem como traçar uma reta que passa por assim, as coordenadas de serão dadas pela intersecção da circunferência centrada em e com raio com a reta , mas cuidado! Ao calcular tal intersecção você encontrará duas soluções, uma delas é um ponto fora do triângulo, a solução correta é aquela que dista menos de quando comparada à outra.

Agora, vamos as contas. Primeiro determinaremos a equação de

A equação da circunferência que tem centro em e raio é 

Assim, as intersecções de com são dadas pelas soluções do sistema:

que pode ser resolvido da seguinte forma: isole uma das variáveis na primeira equação, depois subsititua na segunda, você obterá uma equação do segundo grau, portanto duas soluções, substituindo cada uma de novo na primeira equação você obterá dois pontos como resposta, um você verá que coincide com o outro te dá as coordenadas de .

Agora, vou passar uma espécie de "gabarito" para você seguir na hora de tentar fazer os cálculos:

Espero ter ajudado!

Qualquer dúvida, pode entrar em contato:

email: pedro.bortolucci@gmail.com