As retas de equações y = 2x + 3, y = -x + 4 e y = 1/2x + 1 intersectam-se duas a duas, determinando um triângulo. Calcule a área desse triângulo.
Podemos começar o cálculo de área do triângulo determinando seus vértices. Sabendo que
e definindo que o ponto A é o ponto de encontro de e
, o ponto B de
e
e o ponto C de
e
, então
| Ponto | ||
| A | 1/3 | 11/3 |
| B | 2 | 2 |
| C | -4/3 | 1/3 |
A geometria do triângulo com as retas e os vértices pode ser observada nesta figura (link).
Agora dá pra resolver essa questão de diferentes maneiras, vou utilizar duas, uma através de regra dos trapézios e a outra produto vetorial.
Solução por regra dos trapézios (se desejar saber mais a respeito, consulte aqui): Podemos começar a utilizar a regra definindo um novo ponto, que chamarei de D e ficará sobre a linha de . As coordenadas de D são
e
. A partir da reta
nós podemos dividir o triângulo em duas áreas, a da esquerda é
e a da direita é
, como é mostrado nesta figura (link). A área total é dada por
onde,
e
Esses quatro novos termos são as áreas sob cada segmento de reta, é a área sob o segmento de reta
, por exemplo. Utilizando a regra dos trapézios nós chegamos a
Substituindo tudo nós chegamos a
Solução por produtor vetorial (se desejar saber mais a respeito, consulte aqui):
Primeiro nós definimos dois vetores que deveram se constituídos de duas das hastes do triângulo. Podemos fazer isso com as hastes e
, por exemplo. Para transformar essas hastes em vetores devemos fazer
e
Para calcular a área temos que obter metade do módulo do produto vetorial entre eles
Espero ter ajudado.
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