Geometria analitica e vetores

Encontre a equação geral do plano que contém o ponto a=(1,2,3) e é paralelo aos vetores: u=(3,3,-2) e v=(-2,1,2

Marete R.
Marete
perguntou há 2 meses

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Professor Jonathan M.
Respondeu há 2 meses
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Olá, Marete! Calculando-se o produto vetorial de u e v, você encontrará o vetor w=(8,-2,9), que é ortogonal ao plano.
Substituindo-se o ponto A na equação 8x-2y+9z+d=0, você encontrará o valor de d=31. Logo a equação geral do plano que você busca é: 8x-2y+9z+31=0.

Se precisar de uma explicação mais detalhada, terei a satisfação de ensinar como resolver em uma aula demonstrativa. Basta fazer contato comigo em https://profes.com.br/jonathan.machado. Estou à disposição. Sucesso.
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Professor Gean X.
Respondeu há 2 meses

A Equação Geral é dada pela  produto vetorial de u e v , achando assim o vetor normal pelo ponto a.


Com o vetor normal N = (x1,x2,x3), faça o produto das respectivas coordenadas entre as coordenadas de a e do vetor nomal e some os resultados,
***  x1*1 + x2*2 + x3*3 + D = 0

Achando o valor de D,

Volte a *** é faça para um ponto geral x,y,z  

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Professor Henrique W.
Respondeu há 2 meses

 



Note que se os vetores u e v são paralelos aos planos, então u x v (produto vetorial) é um vetor normal ao plano, isto é, forma um ângulo de 90º com o plano. Assim, fazendo o produto o vetorial, temos u x v = (3,3,-2) x (-2,1,2) = (8,-2,9). Então a equação do plano é 8x-2y+9z-d=0 (I). Para determinar d, lembre que o ponto A=(1,2,3) (II) pertence ao plano, então deve satisfazer à equação do plano. Substituindo (II) em (I) ---> 8(1)-2(2)+9(3)-d=0 ---> 8-4+27-d=31-d=0 ----> d=31. Logo, a equação do plano é 8x-2y+9z-31=0. Dá pra fazer de outro jeito ainda, mais direto: tome um ponto P=(x,y,z) qualquer. Então os vetores PA=(x,y,z)-(1,2,3)=(x-1,y-2,z-3), u e v são coplanares (pertencem a um mesmo plano, e isto é o mesmo que dizer que o plano é paralelo a estes vetores) se o produto misto PA*(u x v)=0. Para fazer o produto misto resolva o determinante da matriz {{x-1,y-2,z-3},{3,3,-2},{-2,1,2}} e iguale a zero. Vai chegar na mesma equação do plano: 8x-2y+9z-31=0.

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