Geometria analítica média e extrema razão

Olá, Maurício, tudo bem contigo?

Um segmento de reta se diz dividido em média e extrema razão, se a razão entre o menor e o maior dos segmentos é igual à razão entre o maior e o segmento todo.

Do enunciado, temos que o segmento de reta OA mede 1 unidade e X divide tal segmento em média e extrema razão, portanto:

Primeira possibilidade (OX<XA):

OX/XA = XA/OA  <---> OX/XA = XA/1 <---> OX=XA²

Como OX+XA = OA, o que implica em: OX+XA =1  <---> XA=1 - OX, temos que: OX=(1 - OX)²  <---> OX=1 - 2OX + OX²  <---> 0=1 - 3OX + OX²  <---> OX=(3 + √5)/2 ou OX=(3 - √5)/2

Como OX<1, OX=(3 - √5)/2

Segunda possibilidade (XA<OX):

XA/OX = OX/OA  <---> XA/OX = OX/1  <---> XA=OX² (O que nos levaria à XA=(3 - √5)/2) Portanto X pode assumir as seguintes coordenadas, para satisfazer o enunciado:

X:((3 - √5)/2) ou X:(1- (3 - √5)/2)