A equação da reta é dada por ay + bx + c =0. Aplicando os pontos dados no enunciado, tem-se que:
ay + bx + c = 0
(a×0) + (b×3) + c = 0
3b + c = 0
c=-3b (I)
Sabendo que a distância de um ponto para reta é dada pela fórmula d = |ay0 + bx0 + c| / (√(a² +b²)). Temos pelo enunciado que a distância da origem é 2 : yo = 0 e x0 = 0
2 = |a×0 + b×0 + c| / (√(a² +b²)) ⇒ 2 = |c| / (√(a² +b²)) ⇒ 2 (√(a² +b²)) = |c| (II)
Com o sistemas de equações definidos:
c = -3b (I)
|c| = 2 (√(a² +b²)) (II)
Logo, substituindo I em II :
|-3b| = 2 (√(a² +b²))
3b = 2 (√(a² +b²))
Elevando ambos os lados da igualdade ao quadrado:
9b² = 4 (a²+b²)
9b² - 4b² = 4a²
5b²= 4a²
a = √5/2 ou a = -√5/2
Existem duas retas que passam por esse ponto e estão a 2 unidades de distância da origem.
Logo, por conveniência, na equação da reta atribuímos a>0.
ay + bx +c = 0
√5/2 × y + bx + c = 0
Para o valor de b, aplica-se qualquer valor diferente de zero, pois se for igual a 0 não existe reta. Para eliminar o denominador da equação, atribuí-se que b =2.
Como c = -3b, c = -6.
Logo, a equação da reta é :
√5y + 2x -6 = 0 , para b>0
ou
-√5y + 2x -6 = 0 , para b<0.
Primeiramente é necessário montar um sistema com os dados do problema, lembrando que a equação de uma reta pode ser dada por ax+by+c=0 e a distância entre ponto e reta é dada por abs(az+bw+c)/sqrt(a^2+b^2).
a) A reta passa pelo ponto x=3, y=0. Substituindo, temos: 3a+c=0 (eq.1).
b) A distância dessa reta para o ponto z=0, w=0 é 2. Substituindo, temos: abs(c)/sqrt(a^2+b^2)=2 (eq.2)
Resolvendo o sistema:
Isolando c na eq.1, temos c=-3a
Substituino c na segunda equação, elevando ao quadrado: (3a)^2=4(a^2+b^2), de onde obtemos b=sqrt(5)/2 ou b=-sqrt(5)/2.
Portanto, há duas retas que passam por (3,0) e distam 2 da origem. Lembrando que é um coeficiente de proporcionalidade, podemos escolher qualquer valor conveniente, desde que diferente de zero. Para eliminar os denominadores, escolhemos a=2. As equações das retas serão:
R1: 2x+sqrt(5)y+6=0
R2: 2x-sqrt(5)y+6=0
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