Olá, Luana. Tudo bem?
É possível determinar isso sem calcular explicitamente os valores de m. O gráfico de f(x) é uma parábola, e sabemos que a posição dessa parábola em relação ao eixo x pode ser determinada pelo termo discriminante, delta, onde
delta = b^2 - 4ac e, nesse caso,
a = 25, b = (m+17) e c = 9
Se delta < 0, a parábola não intercepta o eixo x. Se delta > 0, a parábola intercepta o eixo x em dois pontos (raízes). E se delta = 0, a parábola tangencia o eixo x, tocando em apenas um ponto.
Assim, basta que imponhamos delta = 0 e somos levados à expressão:
delta = b^2 - 4a = (m+17)^2 - 900 = m^2 + 34m - 900 = 0
A solução dessa equação nos dá os dois valores de m.
Mas note que a soma das duas raízes de uma equação do segundo grau é automaticamente dada por meio da expressão: - b/a = -34/1 = -34 (note que são outros b e a !!)
Se preferir, pode resolver a equação para m usando a fórmula de Bháskara.
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Existe outra forma de fazer isso. O gráfico de f(x) é uma parábola, e sabemos que essa parábola tangencia o eixo x quando sua expressão é constituída de um Trinômio Quadrado Perfeito. Nesse caso, a função possui "duas raízes coincidentes", que serão as abcissas dos pontos de tangência.
Enfim, precisamos determinar m para que a expressão de f(x) tenha a forma (ax + b)^2
Se você notar, os únicos quadrados perfeitos que podem originar a expressão de f(x) são
(5x+3)^2 = 25x^2 + 30x + 9 (i)
(5x - 3)^2 = 25x^2 - 30x + 9 (ii)
Assim, comparando as expressões (i) e (ii) com a expressão para f(x), podemos determinar m nesses dois casos:
(i) 30 = 17 + m --> m = 13
(ii) -30 = 17 + m --> m = -47
Assim, a soma dos dois valores é - 34
Se alguma parte não tiver ficado clara, me avise que tento explicar de outra maneira.
Espero ter ajudado.
Abraço!
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