Analisando cada afirmação fornecida:
I. A afirmação parece imprecisa. Um número é construtível com régua e compasso se ele é uma raiz de um polinômio com coeficientes racionais cujo grau é uma potência de 2. Portanto, ele pode ser raiz de um polinômio de grau 1, 2, 4, 8, etc., não apenas de grau 2.
II. A afirmação está correta. O número é construtível com régua e compasso porque é possível construir números representáveis por raízes quadradas e somas de raízes quadradas de números racionais, o que é o caso aqui.
III. A afirmação está correta. O Teorema de Abel-Ruffini afirma que não existe uma solução geral, em termos de radicais, para equações polinomiais de grau 5 ou superior. No entanto, certas equações específicas de grau 5 ou superior podem ter soluções específicas.
IV. A afirmação está incorreta. O número não é construtível com régua e compasso. A duplicação do cubo, também conhecida como o problema de Delos, é impossível de se resolver usando apenas régua e compasso, uma vez que isso requer construir raízes cúbicas, o que não é viável com essas ferramentas geométricas.
Portanto, as afirmações corretas são II e III.