Indique as coordenadas do centro e o raio de uma esfera em q

Para encontrar as coordenadas do centro e o raio da esfera, precisamos primeiro entender a posição dos planos tangentes mencionados:

1. $z=1$
2. $x=5$
3. $y=-2$
4. $y=2$

Os planos tangentes à esfera indicam que a distância do centro da esfera até cada um desses planos é igual ao raio da esfera.

Vamos denotar o centro da esfera como (C(a, b, c)) e o raio como $r$.

Para cada um dos planos dados:

1. A distância do centro ao plano $z=1$ é $|c-1|=r$.
2. A distância ao plano $x=5$ é $|a-5|=r$.
3. A distância ao plano $y=-2$ é $|b+2|=r$.
4. A distância ao plano $y=2$ é $|b-2|=r$.

Agora, vamos resolver cada uma dessas equações para determinar $a$, $b$, $c$ e $r$:

Para o plano $y=-2$ e $y=2$: - $|b+2|=r$ e $|b-2|=r$ implicam que a distância entre os planos $y=-2$ e $y=2$ é $4$, que é igual a $2r$. Assim, $2r=4$ nos dá $r=2$. - Também, $b=0$ é o ponto médio entre os planos $y=-2$ e $y=2$.

Para o plano $x=5$: - $|a-5|=r$ com $r=2$ nos dá duas possibilidades: $a-5=2$ ou $a-5=-2$. - Isso resulta em $a=7$ ou $a=3$.

Para o plano $z=1$: - $|c-1|=r$ com $r=2$ nos dá duas possibilidades: $c-1=2$ ou $c-1=-2$. - Isso resulta em $c=3$ ou $c=-1$.

Vamos considerar a posição exata do centro da esfera. Já que os planos $y=-2$ e $y=2$ são centrados em $y=0$, o $b=0$ é fixo. Para simplificar, escolha um valor intuitivo: $a=3$ e $c=3$.

Então, o centro da esfera é ((3, 0, 3)) e o raio é $2$.

A inequação reduzida que define essa esfera é dada por:

Simplificando, obtemos: