indique as coordenadas do centro e o raio de uma esfera que,

Para encontrar as coordenadas do centro e o raio de uma esfera tangente a planos, precisamos entender que se um plano é tangente a uma esfera, a distância do centro da esfera ao plano é igual ao raio da esfera.

Dado os planos:

1. $z=1$
2. $x=5$
3. $y=-2$
4. $y=2$

Podemos deduzir o seguinte sobre o centro da esfera ((a, b, c)) e o raio $r$:

1. A esfera é tangente ao plano $z=1$, então a distância entre o centro da esfera e este plano, que é a diferença na coordenada $z$, é igual a $r$:
   
   $|c-1|=r$

.

1. A esfera é tangente ao plano $x=5$, então a diferença na coordenada $x$ entre o centro e este plano é igual a $r$:
   
   $|a-5|=r$

.

1. A esfera é tangente ao plano $y=-2$, então a diferença na coordenada $y$ entre o centro e este plano é $r$:
   (|b - (-2)| = |b + 2| = r).

2. A esfera é tangente ao plano $y=2$, então a diferença na coordenada $y$ entre o centro e este plano é $r$:
   
   $|b-2|=r$

.

A partir destas equações, podemos resolver para $a$, $b$, $c$, e $r$:

• Para $b$:
  $|b+2|=r$

e $|b-2|=r$

implicam que o centro está a mesma distância das duas posições $y=-2$

e $y=2$

. Assim, $b=0$

e $r=2$

.

• Para $a$:
  $|a-5|=r$

, e dado que $r=2$

, $|a-5|=2$

, o que nos dá $a=3$

ou $a=7$

.

• Para $c$:
  $|c-1|=r$

, e novamente com $r=2$

, $|c-1|=2$

, resultando em $c=3$

ou $c=-1$

.

Portanto, existem dois centros possíveis para a esfera: - (3, 0, 3) - (7, 0, -1)

Vamos escolher um centro para formular a equação da esfera e inequação correspondente. Usando o centro ((3, 0, 3)) e raio $r=2$, a equação da esfera é:

ou simplificada,

A inequação que define a esfera, considerando todos os pontos ((x, y, z)) dentro e sobre a esfera é:

Essa inequação descreve todos os pontos ((x, y, z)) cujo conjunto forma o volume da esfera.