Inequação: 4^(x+1/2) + 5.2^(x) + 2 > 0

Rearrumando:

4^x * 4^(1/2) +5*2^x + 2 >0  fazendo    2^x = y,  4^x = y^2

2y^2 + 5y + 2 > 0

resolvendo y1 = -2 ; y2 = -2 , sinal entre as raizes negativo, logo solução fora das raizes:

• y < -1/2  ,  2^x < -1/2  2^x < (-2)^(-1)  FALSO POIS 2^X >0 PARA TODO X

• y > -2 , 2^x > -2  isso acontece para todo x, pois 2^x > 0 pra todo x 
• 2^x > 0 > -2 logo 2^x > -2

Espero ter ajudado

 Olá Matheus, boa noite, tudo bem? Espero poder ajudar...

Teoricamente neste caso você teria que dar o valor de X, certo?

O que acontece, guarda isso para você, toda e qualquer álgebra que você for fazer em que deve-se usar os expoentes, trabalhar com os expoentes (ou seja, os números elevados), você deve igualar as bases, ou seja, os números normais em baixo...

Neste caso temos 4^(X + 1/2) podemos deixar assim: 4^X*4^1/2 - mas olha que interessante, todo e qualquer número elevado à 1/2 é na verdade a raíz dele ou seja, por enquanto fica assim:     4^X + ?4 + 5.2^x + 2 > 0 ok, continuamos na nossa viagem em igualar as bases, raíz do segundo quatro ali é 2, e se queremos igualar as bases, o primeiro 4 você pode colocar como 2 ao quadrado (que sabemos que é 4) o outro 2 já está, nós só precisamos eliminar o 5 para isso elevamos ele à 0 e qualquer número elevado à 0 é 1, logo o 5 se torna 1 e 1 vezes 2 é 2, pronto igualamos a base, ficou assim: 2^2x + 2^1 (afinal qualquer número elevado à 1 é ele mesmo) + 2^1x (esse 2 aqui é aquele lá do 5) + 2^1 > 0 joga esse último 2 para o lado de lá da igualdade inverte o sinal joga fora todos os 2 e só resolver agora