Limite e derivada

Vamos calcular as derivadas parciais, verificar a igualdade dada, encontrar a diferencial total e, em seguida, determinar a curva resultante da interseção com o plano y = 2 e a equação da reta tangente em x = 1.

a) Para calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y, usaremos as regras de diferenciação padrão:

?z/?x = ?/?x (x^5 - x^4y + 5x^2y^3) = 5x^4 - 4x^3y + 10xy^3

?z/?y = ?/?y (x^5 - x^4y + 5x^2y^3) = -x^4 + 15x^2y^2

Agora, calcularemos as segundas derivadas parciais:

?²z/?x² = ?/?x (?z/?x) = ?/?x (5x^4 - 4x^3y + 10xy^3) = 20x^3 - 12x^2y + 10y^3

?²z/?y² = ?/?y (?z/?y) = ?/?y (-x^4 + 15x^2y^2) = 30x^2y

b) Vamos mostrar que x??z/?x + y??z/?y = 5z:

x??z/?x + y??z/?y = x(5x^4 - 4x^3y + 10xy^3) + y(-x^4 + 15x^2y^2) = 5x^5 - 4x^4y + 10x^2y^3 - x^4y + 15x^2y^3 = 5x^5 - x^4y + 25x^2y^3 = z + 25x^2y^3 = z + 5z (usando a expressão para z) = 5z

Portanto, x??z/?x + y??z/?y = 5z é verdadeira.

c) A diferencial total dz da função z é dada por:

dz = (?z/?x)dx + (?z/?y)dy

Substituindo as derivadas parciais calculadas anteriormente:

dz = (5x^4 - 4x^3y + 10xy^3)dx + (-x^4 + 15x^2y^2)dy

d) O plano y = 2 intercepta a superfície z. Vamos substituir y = 2 na expressão da superfície:

z = x^5 - x^4(2) + 5x^2(2)^3 = x^5 - 2x^4 + 40x^2

Portanto, a curva resultante da interseção com o plano y = 2 é dada pela equação z = x^5 - 2x^4 + 40