Limite e^2x -1/e^3x -1 X→0

Para resolver o limite ${lim}_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{e^{3x}-1}$, podemos usar a expansão em série de Taylor das funções exponenciais para simplificar a expressão, já que $x\to 0$.

A série de Taylor da função exponencial $e^x$ em torno de zero é:

Aplicando esta expansão para $e^{2x}$ e $e^{3x}$, obtemos:

Substituindo essas aproximações na expressão do limite, temos:

Portanto, a fração $\frac{e^{2x}-1}{e^{3x}-1}$ aproxima-se de:

Podemos simplificar a expressão ao dividir o numerador e o denominador por $x$ (desde que $x\ne 0$):

Como o termo de ordem zero (quando $x$ aproxima-se de zero) é dominante, podemos considerar apenas os termos constantes quando $x\to 0$:

Portanto, o limite é $\frac{2}{3}$.