Limites de integração

Calcular a integral ???f(x,y,z)dV , onde G é a região delimitada pelos planos y + x –1 = 0 e x + y + z = 1.

 

Tiago S.
Tiago
perguntou há 7 dias

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Professor Lucas L.
Respondeu há 6 dias

Considerando os planos dados e os eixos, formaremos um tetraedro de vértices (0,0,0)(1,0,0)(0,1,0) e (0,0,1). 

Assim, manipulando o plano x+y+z=1 , vemos que z=1-x-y que seria o limite superior de z visto que o inferior é z=0, logo  0<=z<=1-x-y;


Manipulando o segundo plano temos que y+x-1=0 ,vemos que y=1-x que seria o limite superior de y visto que o inferior é y=0, logo 0<=y<=1-x;


e os limites de x, pelos vértices do tetraedro vemos que 0<=x<=1

 

Assim basta por nos limites de integração:


?(inf=0)(sup=1) ?(inf=0)(sup=1-x) ?(inf=0)(sup=1-x-y) dzdydx = 1/6 .

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