Questão 1) Seja \small f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} se \small (x,y)\neq(0,0) e \small f(x,y)=0 se \small (x,y)=(0,0) . (a) \small f é contínua em \small (0,0) ? (b) Determine \small \frac{\partial f}{\partial x} e \small \frac{\partial f}{\partial y} para todo \small (x,y) no plano, caso existam. (c) \small f é diferenciável em \small (0,0) ? (d) \small f é diferenciável em \small (x,y)\neq(0,0) ?
Primeiramente, esse exercício não é de cálculo numérico, mas sim de Cálculo Diferencial e Integral II.
a) Não, pois lim f(x,y) quando x = 0 e y -> 0, é igual a -1 e lim f(x,y) quando x -> 0 e y = 0, é igual a 1. Como o limite é diferente deprendendo da direção de aproximação, não há limite no ponto (x,y) = (0,0).
b) d/dx f(x,y) = 2x.(x2 + y2)/(x2 + y2)2 = 2x/(x2 + y2).
d/dy f(x,y) = -2y.(x2 + y2)/(x2 + y2)2 = -2y/(x2 + y2).
c) Não, pois não é contínua em (0,0).
d) Sim, as derivadas direcionais estão bem definidas.
