Ola, Sera que alguem poderia me ajudar com essas duas questões ?
01) Sabendo que a integral converge para
, determine o valor da constante positiva
.
A resposta é: 0,654
Seja o volume do sólido obtido ao girar o gráfico em torno do eixo
, e seja
o volume do sólido obtido ao girar o gráfico em torno do eixo
.
Olá! Como a primeira questão já foi respondida, vou responder a segunda.
A fórmula para encontrar um o volume de um sólido de revolução ao redor do eixo x pelo método dos discos é:
Olhando para o gráfico da elipse, para rotacioná-la ao redor de eixo x, percebemos que vamos ter que integrar de -4 a 4.
A partir da equação da elipse podemos isolar para achá-lo em termos de x:
Inserindo na fómula do volume:
Podemos colocar a constante multiplicando a integral para fora dela:
Como é uma função par, integrar de -4 a 4 é o mesmo que integrar de 0 a 4 duas vezes. Portanto:
Para rotacionar ao redor do eixo y, nós temos a seguinte fórmula:
Sendo que desta vez, para rotacionar no eixo y, pelo gráfico da elipse, observamos que teremos que integrar de -8 a 8.
Fazendo praticamente os mesmos passos de antes na equação da elipse, chegamos ao nosso x ao quadrado em termos de y:
Substituindo na nossa integral:
Como a função que vamos integrar é novamente par, podemos realizar o mesmo procedimento de antes de transformar de -8 a 8 para 0 a 8 dobrando o valor da integral:
Calculando a razão entre Vx e Vy temos:
Simplificando 8 pi com 2pi:
Ambas as integrais são bem simples, afinal são apenas polinômios, portanto vou dar o resultado direto da divisão entre ambas:
Temos, então, que a razão entre os volumes é de fato 2.
Espero que tenha ajudado!
Bom dia Ligia. Vou lhe ajudar na primeira questão. Fico lhe devendo a segunda questão. Vamos lá:
1) Sabendo que a integral converge para
, determine o valor da constante positiva
.
Vamos colocar o termo ?2 em evidencia no denominador. Então fica: dx/?2[(x2/?2) + 1]----->1/?2
dx/(x2/?2) + 1; os limites da integral são a=? e b b= ?. Fazendo a substituição, z = x/? e diferenciando dz=(1/?) dx teremos a seguinte integral padrão:
(1/?2) ?*dz/(z2 + 1); colocando o ? para fora da integral já que é uma contante teremos (1/?)
dz/(z2 + 1) que , se você consultar uma tabela de integrais, tem como o "arctg z"; então fica:
(1/?) * [arc tgz z ] e tem como limites de integração ? e ? ; (1/?) * [arc tg (x/?) ] = (1/?)*[arctg? - arc tg (1)); quando eu faço x=?, x/?=1.
Veja que arctg ? = ?/2 e arctg 1 = ?/4.
(1/?)*[?/2 - ?/4)] = 1,2 que é o limite da convergencia.
(1/?)*[?/4)] = 1,2---------------------> ? = ?/(4*1,2) = 0,654.
Sucesso!!!!!!!!!!!!!