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Ligia há 1 ano
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Lista - dúvida.

 Ola, Sera que alguem poderia me ajudar com essas duas questões ?

 

01) Sabendo que a integral \displaystyle{\int_{\alpha}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}+\alpha^{2}}dx} converge para 1,2, determine o valor da constante positiva \alpha.

A resposta   é: 0,654

 

 

02)  Considere a curva  \displaystyle \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{64} = 1.

Seja V_x o volume do sólido obtido ao girar o gráfico em torno do eixo x, e seja V_y o volume do sólido obtido ao girar o gráfico em torno do eixo y.

Calcule \displaystyle \frac{V_x}{V_y}.  A resposta  é: 2,000

Professora Samantha P.
Respondeu há 1 ano
Contatar Samantha

Olá! Como a primeira questão já foi respondida, vou responder a segunda.

A fórmula para encontrar um o volume de um sólido de revolução ao redor do eixo x pelo método dos discos é:

Olhando para o gráfico da elipse, para rotacioná-la ao redor de eixo x, percebemos que vamos ter que integrar de -4 a 4.

A partir da equação da elipse podemos isolar para achá-lo em termos de x:

Inserindo na fómula do volume:

Podemos colocar a constante multiplicando a integral para fora dela:

Como é uma função par, integrar de -4 a 4 é o mesmo que integrar de 0 a 4 duas vezes. Portanto:

Para rotacionar ao redor do eixo y, nós temos a seguinte fórmula:

Sendo que desta vez, para rotacionar no eixo y, pelo gráfico da elipse, observamos que teremos que integrar de -8 a 8.

Fazendo praticamente os mesmos passos de antes na equação da elipse, chegamos ao nosso x ao quadrado em termos de y:

Substituindo na nossa integral:

Como a função que vamos integrar é novamente par, podemos realizar o mesmo procedimento de antes de transformar de -8 a 8 para 0 a 8 dobrando o valor da integral:

Calculando a razão entre Vx e Vy temos:

Simplificando 8 pi com 2pi:

Ambas as integrais são bem simples, afinal são apenas polinômios, portanto vou dar o resultado direto da divisão entre ambas:

Temos, então, que a razão entre os volumes é de fato 2.

Espero que tenha ajudado!

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Professor Angelo F.
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Respondeu há 1 ano
Contatar Angelo

Bom dia Ligia. Vou lhe ajudar na primeira questão. Fico lhe devendo a segunda questão. Vamos lá:

1) Sabendo que a integral \displaystyle{\int_{\alpha}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}+\alpha^{2}}dx} converge para 1,2, determine o valor da constante positiva \alpha.

Vamos colocar o termo ?2 em evidencia no denominador. Então fica: dx/?2[(x2/?2) + 1]----->1/?2 dx/(x2/?2) + 1; os limites da integral são a=? e b b= ?. Fazendo a substituição, z = x/? e diferenciando dz=(1/?) dx teremos a seguinte integral padrão:

(1/?2) ?*dz/(z2 + 1); colocando o ? para fora da integral já que é uma contante teremos (1/?) dz/(z2 + 1) que , se você consultar uma tabela de integrais, tem como o "arctg z"; então fica:

(1/?) * [arc tgz z ] e tem como limites de integração ?  e ? ; (1/?) * [arc tg (x/?) ] = (1/?)*[arctg? - arc tg (1)); quando eu faço x=?, x/?=1.

Veja que arctg ? = ?/2 e arctg 1 = ?/4.

(1/?)*[?/2 - ?/4)] = 1,2 que é o limite da convergencia.

(1/?)*[?/4)] = 1,2---------------------> ? = ?/(4*1,2) = 0,654. 

Sucesso!!!!!!!!!!!!!

 

 

 

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