Matemática a

1. Distribuição nos carros:

Neste caso, você tem 8 pessoas, das quais 3 são rapazes e 5 são raparigas. Existem dois carros, cada um com 5 lugares, e qualquer um pode conduzir. Vamos calcular quantas maneiras diferentes podemos distribuir as pessoas entre os carros:

Caso 1: Carro A com 5 lugares e Carro B com 0 lugares:

(58?)×1=56

Escolhemos 5 pessoas para o Carro A e as restantes vão para o Carro B. O fator $1$ representa que há apenas uma maneira de decidir quem conduz, pois ambos os carros têm o mesmo número de lugares.

Caso 2: Carro A com 4 lugares e Carro B com 1 lugar:

(48?)×(14?)=70

Escolhemos 4 pessoas para o Carro A e 1 pessoa para o Carro B. Aqui, multiplicamos as combinações, pois há (41)(14?) maneiras de escolher uma pessoa para conduzir o Carro B após as 4 já estarem no Carro A.

Caso 3: Carro A com 3 lugares e Carro B com 2 lugares:

(38?)×(25?)=560

Escolhemos 3 pessoas para o Carro A e 2 pessoas para o Carro B.

Caso 4: Carro A com 2 lugares e Carro B com 3 lugares:

(28?)×(36?)=560

Escolhemos 2 pessoas para o Carro A e 3 pessoas para o Carro B.

Caso 5: Carro A com 1 lugar e Carro B com 4 lugares:

(18?)×(47?)=196

Escolhemos 1 pessoa para o Carro A e 4 pessoas para o Carro B.

Caso 6: Carro A com 0 lugares e Carro B com 5 lugares:

(80)×1=1(08?)×1=1

Escolhemos nenhuma pessoa para o Carro A e todas as 8 para o Carro B.

A soma de todas essas possibilidades é:

$56+70+560+560+196+1=1443$

Portanto, há 1443 maneiras diferentes de distribuir as 8 pessoas nos dois carros.

2. Disposição para a fotografia:

Agora, para a segunda parte, queremos calcular de quantas maneiras as 8 pessoas podem se dispor para a fotografia, garantindo que não haja dois rapazes juntos.

Vamos considerar os rapazes como 'M' e as raparigas como 'F'. A condição é que não haja 'MM' em qualquer parte da disposição.

Primeiro, calculemos o número total de disposições possíveis:

$8!=40320$

Agora, calculemos o número de disposições em que os rapazes estão juntos:

$3!\times 2!\times 6!$

Explicação:

• 3! para as maneiras de dispor os 3 rapazes entre si.
• $2!$ para as maneiras de dispor as 2 raparigas entre si.
• $6!$ para as maneiras de dispor as 6 pessoas (rapazes e raparigas) entre si.

Agora subtrai esse valor do total:

$40320?(3!\times 2!\times 6!)=40320?(6\times 2\times 720)=40320?8640=31680$

Portanto, há 31680 maneiras de dispor as 8 pessoas para a fotografia de modo que não haja dois rapazes juntos

1. Para calcular o número de maneiras em que as oito pessoas podem se distribuir pelos dois carros, podemos usar o princípio multiplicativo.

Primeiramente, vamos considerar que qualquer um dos oito amigos pode conduzir. Portanto, temos 8 opções para escolher o motorista do carro A. Após escolher o motorista do carro A, restam 7 amigos para serem distribuídos nos demais lugares do carro A.

Para o carro B, temos 7 opções para escolher o motorista, uma vez que o motorista do carro A já foi definido. Após escolher o motorista do carro B, restam 6 amigos para serem distribuídos nos demais lugares do carro B.

Portanto, o número total de maneiras em que as oito pessoas podem se distribuir pelos dois carros é dado por:

8 * 7 * 7 * 6 = 2,016 maneiras.

2. Para calcular o número de maneiras em que as oito pessoas podem se dispor para a fotografia, de modo que não fiquem dois rapazes juntos, podemos usar o princípio inclusão-exclusão.

Primeiramente, vamos calcular o número total de maneiras de dispor as oito pessoas lado a lado, sem restrições. Isso é dado por 8!.

Agora, vamos calcular o número de maneiras em que dois rapazes ficam juntos. Podemos considerar os dois rapazes como um único bloco, e assim temos 7 objetos para serem permutados (6 pessoas + 1 bloco dos rapazes). Dentro desse bloco, os dois rapazes podem ser permutados de 2! maneiras. Portanto, o número de maneiras em que dois rapazes ficam juntos é dado por 7! * 2!.

Agora, vamos calcular o número de maneiras em que três rapazes ficam juntos. Podemos considerar os três rapazes como um único bloco, e assim temos 6 objetos para serem permutados (5 pessoas + 1 bloco dos rapazes). Dentro desse bloco, os três rapazes podem ser permutados de 3! maneiras. Portanto, o número de maneiras em que três rapazes ficam juntos é dado por 6! * 3!.

Aplicando o princípio inclusão-exclusão, subtraímos o número de maneiras em que dois rapazes ficam juntos e adicionamos o número de maneiras em que três rapazes ficam juntos:

Número de maneiras = 8! - (7! * 2!) + (6! * 3!)

Calculando essa expressão, obtemos o número total de maneiras em que as oito pessoas podem se dispor para a fotografia, de modo que não fiquem dois rapazes juntos.