Observe a molécula do metano no espaço. Ela é representada por um tetraedro cujos pontos são H1 (0,0,0), H2 (2x, 2x, 0), H3 (0, 2x, 2x) ???? H4(2x, 0, 2x), com centro determinado pelos valores ????(x, x, x). Calcule o valor do ângulo ???? que está entre os vetores CH2 e CH3.
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Os vetores em questão são:
CH2 = H2 - C = (2x, 2x, 0) - (x, x, x) = (x, x, -x) = x(1, 1, -1),
CH3 = H3 - C = (0, 2x, 2x) - (x, x, x) = (-x, x, x) = x(-1, 1, 1).
Então a questão quer o angulo entre x(1, 1, -1) e x(-1, 1, 1).
Do produto interno de dois vetores, sabemos que u.v = |u||v|.cos a, onde a é o angulo entre os vetores. Temos:
x(1, 1, -1) . x(-1, 1, 1) = x²(-1 + 1 -1) = -x².
|x(1,1,-1)| = x |(1,1,-1)| = x?3
|x(-1,1,1)| = x |(-1,1,1)| = x?3
Então, do produto interno temos:
-x² = (x?3)(x?3).cos a
cos a = -x² / (3x²)
cos a = - 1/3
a = arccos(-1/3).
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