No conjunto N × N considere a relação definida por
(a, b) ~ (c, d) <--> a + d = b + c.
Mostre que R é uma relação de equivalência e encontre a classe de equivalência de (2, 3).
Para mostrar que R é uma relação de equivalencia é necessario provar as seguintes condições para qualque (a,b),(c,d),(e,f) em NxN:
1) reflesividade: (a,b)R(a,b). Isto é fácil de verificar pela propriedade a+b=a+b --> (a,b)~(a,b).
2)Simetria: (a,b)R(c,d) --> (c,d)R(a,b). Isto é fácil de verificar usando a definição da relação (a,b)R(c,d) tem-se que a+d=b+c --> c+b=a+d --> (c,d)R(a,b).
3)transitividade: (a,b)R(c,d) e (c,d)R(e,f) --> (a,b)R(e,f) usando a definição da relação (a,b)R(c,d) tem-se a+d=b+c e da outra relação (c,d)R(e,f) tem-se c+f=d+e, então somando ambras relações (a+d)+(c+f)=(b+c)+(d+e) obtêm-se a+f=b+e então (a,b)R(e,f).
Desta forma prova-se que R é uma relação de equivalência.
A clase de equivalência de (2,3) é dada pelo conjunto
{(a,b) em NxN : (a,b)~(2,3)}={(a,b) em NxN : a-b=-1}.
Aulas particulares
