Quatro estações distribuidoras de energia A, B, C e D estão dispostas como vértices de um quadrado de 40km de lado. Deseja-se construir uma estação central que seja ao mesmo tempo equidistante das estações A e B e da estrada (reta) que liga as estações C e D. A nova estação deve ser localizada a) no centro do quadrado. b) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 15km dessa estrada. c) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 25km dessa estrada. d) no vértice de um triângulo equilátero de base AB, oposto a essa base. e) no ponto médio da estrada que liga as estações A e B.
Como o quadrado possui 40 km de lado, o ponto médio dos vértices estará a 20 km deles. A estação central, para ser equidistante de A e B, deverá ser construída por onde passa a reta perpendicular à estrada que liga os dois pontos (lugar geométrico). Assim, essa reta também é perpendicular à estrada liga os vétices C e D.
Chamando a distância dos vértices A, B e da estrada que liga os pontos C e D à estação central de x, o ponto médio entre A e B de M e de y a distância de M até à estação central, temos que:
x + y = 40 (lado do quadrado)
x2 = 202 + y2 (triângulo retângulo formado entre o vértice A, o ponto M e a estação central)
Substituindo y da 1ª equação na 2ª, temos:
x2 = 202 + (40 - x)2
x2 = 400 + 1600 - 80x + x2
80x = 2000
x = 2000/80
x = 25 km
Logo, a estação central deve ser construída na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 25km dessa estrada. (Resposta letra C)
