Matemática, integral com métodos de distância.

Olá, Amanda!
É difícil saber qual métodos precisamos usar sem ver os teoremas, mas usarei aqui a fórmula da distância usual para o plano. Se quiser discutir os teoremas mais especificamente pode entrar em contato (email: pedroguapomoro@gmail.com/wpp: (44) 99894-0702).
Primeiro pela fórmula da distância:
d = [(4 - (-2))^² + (0 - 2)^²]^½
= [6^² + (-2)^²]^½
= 40^½ = 2.10^½

Imagino que um dos teoremas seja em relação a encontrar o comprimento de curvas usando integrais. Isolando o y encontramos a reta y = -x/3 + 4/3, e claro, sua derivada y' = -1/3

d = ∫(1 + (y')^²)^½ dx

   = ∫(1 + (-1/3)^²)^½ dx

   = ∫(10/9)^½ dx

   = (10/9)^½.∫dx

   = (10/9)^½.x

E agora substituimos nos limites de -2 até 4

   d = (10/9)^½.[4 - (-2)]

      = (10/9)^½.6

      = (6/3).10^½

      = 2.10^½

Uma última forma poderia ser usando caminhos e a fórmula para distâncias de caminhos em variedades. Se γ(t) é uma função suave onde γ(0) = (-2,2) e γ(1) = (4,0), então a distância entre esses pontos será dada pela integral de zero a um de γ(t).

d = ∫|γ'(t)|dt

 E γ(t) = (t - 1).(2-,2) + t.(4,0), assim γ'(t) = (2,-2) + (4,0) = (6,-2).

d = ∫|γ'(t)|dt

   = ∫|(6,-2)|dt

   = ∫(6² + (-2)²)^½dt

   = 40^½∫dt = 40^½.t

Substituindo os limites de zero a um temos

d = 40^½(1 - 0)

   = 40^½

   = 2.10^½

Primeiro temos que verificar se os pontos pertencem a equação da reta referida. Substituindo os x´s e os y´s nos locais da fórmula, verificamos que pertencem. A fórmula da distância é baseada em Pitágoras: D²=X² Y², onde X= x1-x2 e Y= y1-y2. Então X²=(-2-4)²=36 e Y²=(2-0)²=4, consequentemente D²=36+4=40, logo após a decomposição D=2v10 (duas vezes a raiz quadrada de 10)
DESCONHEÇO NO MOMENTO OS TEOREMAS REFERIDOS, MAS VAMOS ESTUDAR JUNTOS...