Em uma seqüência de 8 números, a1, a2, ... , a7, a8, os 5 primeiros termos formam uma progressão aritmética (P.A.) de primeiro termo 1; os 3 últimos formam uma progressão geométrica (P.G.) de primeiro termo 2. Sabendo que a5 = a6 e a4 = a7, determine as razões da P.A. e da P.G.
OS Oito termos podem ser descritos como:
1, 1+r, 1+2r,1+3r,1+4r,a1+4r,(a1+4r)*q, (ai+4r)*q^2
a1 + 4r = 2 (primeiro termo da pg)
1 +4r = 2
4r =2
r = 0,5
a4 = 1 +3r = 2,5
2,5 = (1+ 4*0,5)*q^2
q^2 = 2,5/3 = 5/6 => q = raiz de (5/6)
A PA é formada pelos cinco primeiros termos:
a1, a2, a3, a4, a5
Sendo que:
a1 = 1
Os três últimos termos formam uma PG.
a6, a7, a8
Mas, para a PG:
a6 é o primeiro termo (a1), que é igual a 2 (primeiro termo da PG é 2)
a7 é o segundo termos (a2)
a8 é o terceiro termo (a3)
Sendo que:
a1 = 2
a5 = a6
a5 faz parte dos termos que formam a PA, logo:
a5 = a1 + 4r
Então:
a1 + 4r = a6
1 + 4r = 2
4r = 2 - 1
4r = 1
r = 1/4
Temos também que:
a4 = a7
vamos antes lembrar que:
a7 é o segundo termo da PG, logo será a2
a2 = a1 * q
a2 = 2 * q
voltando:
a4 = a7
Temos que encontar a4
a4 = 1 + 3 * r
a4 = 1 + (3 * 1/4)
a4 = 1 + 3/4
a4 = 7/4
Agora:
a4 = a7 (lembrando que esse a7 é o a2 da PG)
7/4 = a1 * q
7/4 = 2 * q
2 * q = 7/4
q = 7/4 : 2
q = 7/4 * 1/2 (Divisão, onde pelo menos um termo é fração, conserva a primeira emultiplica pelo inverso da segunda)
q = 7/8
A razão da PA: r = 1/4
A razão da PG: q = 7/8
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