Matemática - problema 1° ano e.m

Bom dia Livia, vamos lá!

A sua pergunta foi:  Um aluno obteve 57 pontos em uma prova de 20 testes de múltipla escolha, que adota o seguinte critério de correção: . cada teste com resposta certa vale 5 pontos. . cada teste com resposta errada vale -2 pontos (dois pontos negativos). . cada teste não respondido não conta ponto (vale zero ponto). a) A quantos testes esse aluno respondeu corretamente? b) A quantos testes esse aluno não respondeu?

a) Vamos dar nomes as variáveis:

x = quantidade de questões corretas
y = quantidade de questões erradas
z = quantidade de quesões em branco

Como o teste possui 20 questões temos:

x + y + z  = 20

Além disso, como o aluno obteve 57 pontos temos que

5x + (-2)y + 0z = 57

5x - 2y = 57

Assim, teremos o sistema:

x + y + z = 20 (1)
5x - 2y = 57    (2)

Trabalhando com a segunda equação e isolando o x obtemos

x = (57 + 2y)/5 (3)

Dessa forma obtemos x em função de y.

Sabemos que tanto x quanto y são maiores ou iguais a zero e menores ou iguais a vinte. Isso limita a nossa quantidade de soluções. Além disso, a quantidade de questões é um número inteiro, assim, temos que pela equação (3) que (57 + 2y) é um multiplo de 5.

Assim, (57 +2y) deve terminar em 5 ou 0. Como este número é a soma de um número ímpar com um número par, ele necessáriamente deve terminar em 5, ou seja 2y deve terminar em 8.

Dessa forma, temos que os possíveis valores de y são:

y = 4   (2y=8)
y = 9   (2y = 18)
y = 14 (2y = 28)

Para cada um dos casos acima temos os seguintes valores de x correspondentes

y = 4 --> x = 13 (Esta é a única alternativa em que x + y < 20)
y = 9 --> x = 15
y = 14 --> x = 17

Portanto, o aluno respondeu 13 testes corretamente (x=13).

b) Utilizando a equação 1 podemos calcular a quantidade de questões em branco (z).

Como x=13 e y = 4, temos que

x + y + z = 20 --> 13 + 4 + z = 20 --> 17 + z = 20 --> z = 3.

Portanto, o aluno deixou 3 questões sem resposta.