Dada a forma geral da equações de circunferência, determine se as equações representam ou não uma circunferência. Em caso afirmativo encontre seu centro, raio e a equação reduzida da circunferência.
a) 2x2 + 2y2 - 6x + 10y + 7 = 0;
b) 4x2 + 4y2 + 28x - 8y + 53 = 0;
c) 16x2 + 16y2 - 64x + 8y + 177 = 0;
d) x2 + y2 - 2x - 6y - 15 = 0;
e) x2 + y2 + 6x - 14y + 58 = 0;
f) x2 + y2 - 6x + 12y + 96 = 0;
Olá Yasmin!
Nesse caso temos que comparar com a equação geral das circunferências:
x2 + y2 - 2ax -2by + a2 + b2 -R2 = 0
a) 2x2 + 2y2 - 6x + 10y + 7 = 0;
dividindo por 2:
x2 + y2 - 3x + 5y + 7/2 = 0;
Comparando a nossa equação com a equação geral, vemo que -3x = -2ax, logo:
-2a = -3
a = 3/2
Seguindo o raciocínio para o termo que tem y:
pelo quarto termo da equação geral:
-2b = 5
b= -5/2
Então pelos três ultimos termos da equação geral, temos que ter:
(3/2)^2 + (-5/2)^2 - R^2 = 7/2
9/4 + 25/4 - R^2 = 7/2
tirando o denominador:
9 + 25 - 4R^2 = 14
-4R^2 = 14 - 25 - 9
R^2 = 5
R = raiz(5) = 2,24 aproximadamente
Escrevendo a equação na forma reduzida: (x - a)^2 + (y -b)^2 = R^2
Escrevendo a equação na forma reduzida: (x - 3/2)^2 + (y + 5/2)^2 = 5
Seu centro está nas coordenadas (a,b) ou seja, no ponto (3/2;-5/2)
b) 4x2 + 4y2 + 28x - 8y + 53 = 0;
dividindo por 4:
x2 + y2 + 7x - 2y + 53/4 = 0
pelo terceiro termo:
-2a = 7
a = -7/2
pelo quarto termo:
-2b = -2
b= 1
Então pelos três ultimos termos:
(-7/2)^2 + (1)^2 - R^2 = 53/4
49/4 + 1 - R^2 = 53/4
tirando o denominador:
49 + 4 - 4R^2 = 53
-4R^2 = 53-49-4
4R^2 = 0
R = 0 (Nesse caso, quando o raio é zero, chama-se circunferência degenerada, trata-se de um ponto)
Escrevendo a equação na forma reduzida: (x + 7/2)^2 + (y -1)^2 = 0
Seu centro está nas coordenadas (a,b) ou seja, no ponto (-7/2;1)
c) 16x2 + 16y2 - 64x + 8y + 177 = 0;
dividindo por 16:
x2 + y2 - 4x + 1/2y + 177/16 = 0
pelo terceiro termo:
-2a = -4
a = 2
pelo quarto termo:
-2b = 1/2
b= -1/4
Então pelos três ultimos termos:
(2)^2 + (-1/4)^2 - R^2 = 177/16
4 + 1/16 - R^2 = 177/16
tirando o denominador:
64 + 1 - 16R^2 = 177
-16R^2 = 177-1-64
-16R^2 = 112
R^2 = -7
Um raio ao quadrado não pode dar um valor negativo, já que comprimentos tratam-se sempre de valores positivos, logo não é possível ter uma esfera.
Usando esses itens como exemplo, tente fazer os outros itens. Se surgir mais alguma dúvida, escreva novamente para nós!
Espero ter ajudado ;)
boa noite
A equação x² + y² + 2x + 2y - 2 = 0 representa uma circunferência de centro (-1,-1) e raio 2.
A equação reduzida da circunferência é da forma (x - x?)² + (y - y?)² = r², sendo C = (x?,y?) o centro da circunferência e r a medida do raio.
Para sabermos se a equação x² + y² + 2x + 2y - 2 = 0 representa uma circunferência ou não, precisamos escrevê-la na forma reduzida.
A equação será de uma circunferência se r² > 0. Caso r² = 0, teremos um ponto e caso r² < 0, teremos um conjunto vazio.
Para isso, precisamos completar quadrado. Dito isso, obtemos:
x² + 2x + 1 + y² + 2y + 1 = 2 + 1 + 1
(x + 1)² + (y + 1)² = 4.
Note que 4 > 0. Sendo assim, podemos afirmar que a equação é de uma circunferência. O seu centro é o ponto C = (-1,-1) e a medida do seu raio é igual a r = 2.
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