Matemática:máximos e mínimos.

Fala ai, Lely! Tudo bem?

O lucro será o preço da venda tirado do valor dos custos da produção da mercadoria.

Assim, a equação que modela o lucro será:

L = V - C

L = x(c-dx) - (a+bx) -> Porque x(c-dx)? Pois c-dx é o preço de venda de UMA UNIDADE, então se venderão x unidades o preço total das vendas será x vezes o valor da unidade.

Portanto,

L = cx-dx²-a-bx

L = -dx² + (c-b)x - a

Temos então que o lucro é modelado por uma equação do segundo grau, então para saber a quantidade de produtos que devem ser produzidos para que o lucro da operação seja máximo, basta calcularmos o valor do X do vértice da parábola, ou seja,

Xv = -B/2A

Xv = -(c-b)/2(-d)

Xv = (c-b)/2d

Olá Lely,

Para determinar o lucro máximo ao vender x unidades de um aparelho, onde o custo de produção de uma unidade é dado por a + bx reais e o preço de venda é c - dx reais por unidade, podemos utilizar a função lucro L(x), que é dada pela diferença entre a receita e o custo: L(x) = R(x) - C(x)

Onde:

R(x) é a receita obtida pela venda de x unidades, dada por R(x) = (c - dx) . x

C (x) é o custo de produção de x unidades, dado por C(x) = a + bx

 

Substituindo as expressões, obtemos:

L(x) = (c - dx) . x – (a + bx)

L(x) = cx – dx² - a - bx

 

Agora, para encontrar o lucro máximo, devemos encontrar o valor de x que maximiza a função L(x). Para isso, podemos derivar a função L(x) em relação a x e igualar a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:

d/dx L(x) = c – 2dx –b

c – 2dx – b = 0

2dx = c – b

X = c-b/2d

 

Substituindo esse valor de x na função lucro L(x), obtemos o lucro máximo:

L (c-b/2d) = c (c-b/2d) – d (c-b/2d)² - a – b (c-b/2d)

L (c-b/2d) = v(c-b)/2d – d(c-b)²/4d² - a – b(c-b)/2d

L (c-b/2d) = (c²-bc)/2d – (c²-2cb+b²)/4d – a – (bc–b²)/2d

L (c-b/2d) = (2c² - 2bc – c² + 2cb – b²)/4d – a

L (c-b/2d) = (c²-bc-b²)/4d - a

Essa é a expressão para o lucro máximo. Você pode calcular numericamente substituindo os valores de a, b, c, e d.

Para determinar o lucro máximo ao vender x unidades de um aparelho, precisamos considerar a diferença entre a receita (preço de venda) e o custo total de produção. O lucro máximo ocorre quando essa diferença é maximizada. O custo total de produção para x unidades é dado por \(C(x) = a + bx\), e a receita total (valor de venda) para x unidades é \(R(x) = c - dx\). O lucro total \(L(x)\) é dado pela diferença entre a receita e o custo: \[L(x) = R(x) - C(x) = (c - dx) - (a + bx) = c - dx - a - bx\] Agora, para encontrar o lucro máximo, precisamos encontrar o valor de x que maximiza a função \(L(x)\). Para isso, calculamos a derivada de \(L(x)\) em relação a x e igualamos a zero para encontrar os pontos críticos: \[\frac{d}{dx} L(x) = \frac{d}{dx} (c - dx - a - bx) = -d - b\] Igualando a zero: \[-d - b = 0\] \[b = -d\] Portanto, o lucro máximo ocorre quando \(b = -d\), ou seja, quando o coeficiente do termo linear no custo é igual ao oposto do coeficiente do termo linear na receita. Substituindo \(b = -d\) na expressão do lucro: \[L(x) = c - dx - a - (-d)x\] \[L(x) = c - dx - a + dx\] \[L(x) = c - a\] Assim, o lucro máximo ao vender x unidades é constante e igual a \(c - a\) reais. Isso significa que o lucro máximo independe da quantidade de unidades vendidas e é igual à diferença entre o preço de venda e o custo fixo de produção.