A utilização de matrizes na solução de sistemas lineares é muito comum, principalmente quando o sistema envolve uma quantidade maior de variáveis, já que nem sempre é fácil isolar variáveis para descobrir soluções. Sendo assim, veja o seguinte problema proposto:
Uma rede de lojas de bolsas, composta pela matriz mais duas filiais, vende três tipos de bolsas específicas pertencentes a uma mesma coleção ao preço sugerido pela marca fabricante. Os dados de vendas em um dia são dados por
lojas numero bolsas vendidas valor recebido
bolsa A bolsa B bolsa C
matriz 2 2 3 581,30
filial 4 1 2 495,30
filial 1 2 5 751,20
Responda às seguintes questões:
a) Nesse dia, quantas coleções completas dessas bolsas são vendidas por essa rede de lojas? Justifique sua resposta. (Uma coleção completa é formada por três bolsas, sendo uma de cada tipo.)
b) Monte um sistema de equações lineares com os dados da tabela de maneira que as variáveis x, y e z desse sistema representem os preços unitários de cada uma das bolsas. Classifique esse sistema como possível determinado, possível indeterminado ou impossível, justificando sua resposta e utilizando determinantes.
c) Resolva o sistema utilizando algum dos seguintes métodos: escalonamento ou regra de Cramer para encontrar o valor unitário de cada bolsa
Olá, Ramiro.
a) Sabemos que 1 coleção só será completa quando 3 bolsas (UMA de cada tipo) forem vendidas. Como a matriz e as duas filiais são da mesma rede de lojas, podemos somar a quantidade de bolsas dos tipos A, B e C, que dá:
Tipo A - 7 bolsas
Tipo B - 5 bolsas
Tipo C - 10 bolsas
Logo, é só verificar o menor número dentre os três, que é o correspondente ao número de coleções completas vendidas --> 5 coleções.
b) Agora, vamos montar o sistema de equações:
----A----- ---B--- ---C---
2 2 3 x 581,30
4 1 2 . y = 495,30
1 2 5 z 751,20
Fazendo a multiplicação de cada linha da matriz A pelos valores da coluna de B, resulta-se na matriz C, conforme o exemplo abaixo:
*nesse exemplo, mostra-se a multiplicação de cada termo da linha 1 da matriz A pela matriz B, resultando-se no primeiro valor (linha 1) da matriz C.
----A----- ---B--- ---C---
2 2 3 x 581,30
4 1 2 . y = 495,30
1 2 5 z 751,20
Matriz A: Número de bolsas
Matriz B: R$/bolsa (preço unitário)
Matriz C: R$ total (valor total recebido)
O resultado das multiplicações dá o sistema linear:
2x + 2y + 3z = 581,30
4x + y + 2z = 495,30
x + 2y + 5z = 751,20
Para classificar o sistema em SPD, SPI ou SI, devemos calcular o determinante, sabendo-se que:
Sistema Possível e Determinado (SPD): há apenas uma solução possível, o que acontece quando o determinante é diferente de zero (D ? 0).
Sistema Possível e Indeterminado (SPI): as soluções possíveis são infinitas, o que acontece quando o determinante é igual a zero (D = 0).
Sistema Impossível (SI): não é possível apresentar qualquer tipo de solução, o que acontece quando o determinante principal é igual a zero (D = 0) e um ou mais determinantes secundários são diferentes de zero (D ? 0).
Calculando o determinante para esse sistema, resulta-se em -13. Dessa forma, como esse valor é diferente de 0, implica-se que é um SPD.
c) Utilizando escalonamento para resolver o sistema, os valores de x = 49,9; y = 75,9 e z = 109,9. Lembre que eles representam os preços de cada bolsa do tipo A, B e C, respectivamente.
OBS: Caso vc tenha dúvidas em como realizar o escalonamento ou não tenha conseguido chegar nesses valores, descrevi em uma sequência de etapas como fiz (:
PASSO 1: Inverti a 3ª linha com a primeira, para facilitar o escalonamento com o número 1 ocupando a primeira posição:
x + 2y + 5z = 751,20
4x + y + 2z = 495,30
2x + 2y + 3z = 581,30
PASSO 2: Multiplicar a primeira linha por -4 e somar com a segunda linha
x + 2y + 5z = 751,20
0 - 7y - 18z = -2509,5
2x + 2y + 3z = 581,30
PASSO 3: Multiplicar a primeira linha por -2 e somar com a terceira linha
x + 2y + 5z = 751,20
0 - 7y - 18z = -2509,50
0 - 2y - 7z = -921,10
PASSO 4: Multiplicar a segunda linha por -2/7 e somar com a terceira linha.
x + 2y + 5z = 751,20
0 - 7y - 18z = -2509,50
0 + 0 - 13/7 z = -204,1
PASSO 5: Com o sistema escalonado, agora é só retirar os valores. Da linha 3, tira-se que z = 109,90. Utilizando esse valor na linha 2, tira-se que y = 75,9. Com os valores de z e de y, encontra-se, na linha 1, que x = 49,9.
Espero que tenha ajudado você!!
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