Se a é uma matriz 2 × 2 então justifique quais das afirmações abaixo são
verdadeiras:
A) Se λ1 = 1 e λ2 = 2 são os autovalores de a, então a é invertıvel;
B) Se λ1 = 0 e λ2 = 3 são os autovalores de a, então a não é invertıvel.
Oi, Larissa.
Para começar a resolução, precisamos lembrar da relação entre o que determina se a matriz é inversível ou não, e os autovalores da matriz.
Consideremos a matriz A abaixo:
A será inversível se seu determinante for diferente de zero.
Ok. Mas o que isso tem a ver com os autovalores da matriz?
Para encontrar os autovalores de uma matriz, denominados pela letra , precisamos resolver a seguinte equação:
, onde I é a matriz identidade de mesma ordem de A.
Vamos identificar quem é a matriz :
Agora, desenvolvendo a equação , encontraremos o polinômio caracteristico da matriz, de onde descobriremos os autovalores.
Repare que, se um dos autovalores for igual a zero, teremos: , ou seja, determinante de A igual a zero, o que caracteriza uma matriz não inversível!
Portanto, concluímos que as afirmativas a) e b) estão corretas. Se um dos autovalores de uma matriz for nulo, a matriz não é inversível.
Espero ter ajudado. Até a próxima, e bons estudos!
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