Considere o subconjunto F = {f : R −→ R; f(x²) = [f(x)]²} do espaço vetorial das funções de R em R denotada por F(R, R). Verifique se F ́e um subespaço vetorial de F(R, R)
Vamos tentar provar que o conjunto F é um subespaço vetorial de F(R;R). Para isso, devemos mostrar que F cumpre as seguintes condições:
1. F é não vazio;
2. f, g F implica f + g
F;
3. f F implica cf
F para todo c real.
Temos que a aplicação identidade i(x) = x de R em R pertence a F, pois
Logo, vale 1. Por outro lado, tomando a função f(x) = 2x, temos
Portanto, . Isto mostra que f(x)=2x não pertence à F, ou seja, i(x)=x pertence à F mas seu múltiplo f(x)=2x não pertence. Portanto, F não cumpre a condição 3 acima. Concluímos que F não é subespaço de F(R;R).
Nessa sessão respondemos a dúvidas pontuais.
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